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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

dans un langage assez incorrect, mais commode, que la solution particulière

$\mu =0,\qquad x=\theta (t,0),\qquad y=\omega (t,0)$

ne va passer par aucun point singulier.

Je dis que, si cette condition est remplie, $\theta (t,\mu ),$ $\omega (t,\mu )$ pourront, pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{0},$ être développées suivant des puissances de $\mu$ (je dis de $\mu$ et non pas de $t$ et de $\mu$), pourvu que $|\mu |$ soit assez petit.

J’observe d’abord que l’on peut, sans restreindre la généralité, supposer que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ s’annulent identiquement quand on y fait

$x=y=\mu =0$

ou, ce qui revient au même, que l’on a identiquement

$\theta (t,0)=\omega (t,0)=0.$

Si, en effet, cela n’était pas, on changerait de variables en posant

$x'=x-\theta (t,0),\qquad y'=y-\omega (t,0)$

et l’on serait ramené au cas que nous venons d’énoncer ; car les équations transformées admettraient comme solution, pour $\mu =0,$

$x'=0,\qquad y'=0.$

Faisons donc cette hypothèse ; les fonctions $\varphi$ et $\psi$ seront développables suivant les puissances de $x,$ $y$ et $\mu \,;$ mais je ne les suppose pas développées suivant les puissances de $t.$

Nous pourrons trouver des séries (3) développées suivant les puissances de $\mu$ et qui, substituées à la place de $x$ et de $y,$ satisferont formellement aux équations (1). De plus, ces séries s’annuleront pour

$t=0.$

Pour démontrer la convergence de ces séries, formons des équations analogues aux équations (2 bis) du n^o 26.

Les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont développables suivant les puissances de $x,$ $y$ et $\mu ,$ pourvu que

$0<t<t_{0}$