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CHAPITRE II.

$y$ et $\mu$ pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{1}$ $(t_{1}>0$) [nous conviendrons de ne considérer que les valeurs de $t$ comprises entre ces deux limites]. Je ne suppose pas d’ailleurs que $\varphi$ et $\psi$ soient développables suivant les puissances de $t.$

Il existera alors des séries

$f(t,\mu ),\quad f_{1}(t,\mu )$

qui seront ordonnées suivant les puissances de $\mu$ (le coefficient d’une puissance quelconque de $\mu$ étant une fonction de $t,$ qui peut ne pas être développable suivant les puissances de $t,$) qui s’annuleront et qui satisferont formellement aux équations (1).

Comment peut-on déterminer les coefficients des deux séries $f$ et $f_{1}$ ?

Soient $x_{m}$ le coefficient de $\mu ^{m}$ dans $f,$ et $y_{m}$ celui de $\mu ^{m}$ dans $f_{1}.$

On trouve alors, pour déterminer $x_{m}$ et $y_{m},$ les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {dx_{0}}{dt}}&=\varphi (x_{0},y_{0},t_{0},0),&{\frac {dy_{0}}{dt}}&=\psi (x_{0},y_{0},t,0),\\[0.5ex]{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\varphi }{dx_{0}}}x_{1}+{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}y_{1}+\mathrm {X} _{1},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dx_{0}}}x_{1}+{\frac {d\psi }{dy_{0}}}y_{1}+\mathrm {Y} _{1},\\[0.5ex].\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,&.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\{\frac {dx_{m}}{dt}}&={\frac {d\varphi }{dx_{0}}}x_{m}+{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}y_{m}+\mathrm {X} _{m}\,;&{\frac {dy_{m}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dx_{0}}}x_{m}+{\frac {d\psi }{dy_{0}}}y_{m}+\mathrm {Y} _{m}.\end{aligned}}$

$\mathrm {X} _{m}$ et $\mathrm {Y} _{m}$ étant développées suivant les puissances de

$x_{1},\;y_{1};\;x_{2},\;y_{2};\;\dots ;\;x_{m-1},\;y_{m-1},$

et dépendant, d’autre part, de $x_{0},\,y_{0}$ et de $t.$

D’ailleurs, dans ${\frac {d\varphi }{dx_{0}}},$ ${\frac {d\varphi }{dy_{0}}},$ ${\frac {d\psi }{dx_{0}}},$ ${\frac {d\psi }{dy_{0}}},$ $x,$ $y$ et $\mu$ doivent être remplacés par $x_{0},$ $y_{0}$ et 0.

Soient maintenant des équations

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi '(x,y,t,\mu )\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi '(x,y,t,\mu )\end{aligned}}\right.$

telles que

$\varphi \ll \varphi ',\qquad \psi \ll \psi '\qquad (\mathrm {arg.} \;x,\,y\;\mathrm {et} \;\mu ,$ mais non $\mathrm {arg.} \;t).$