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CHAPITRE II.
stration si je ne me proposais de le compléter en quelques points.
Considérons les équations différentielles
(1)
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Je suppose que les fonctions
et
sont développées suivant les
puissances croissantes de la variable indépendante
des deux
fonctions inconnues
et
et d’un paramètre arbitraire
En supposant que la variable indépendante
n’entre pas dans
les seconds membres des équations (1), je ne diminue pas la généralité,
car un système d’ordre
où la variable indépendante entre
explicitement, peut toujours être remplacé par un système d’ordre
où cette variable indépendante n’entre pas.
Soient, en effet, par exemple,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t)\,:\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c9182ee7f5fe20127a26005f0e6962253d4584)
il est manifeste que ces deux équations peuvent être remplacées
par les trois suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,z),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,z),\\[0.5ex]{\frac {dz}{dt}}&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b068d9cd68693bfd413d8da31c62640fe3912cfb)
Je me propose de démontrer qu’il existe trois séries convergentes
développées suivant les puissances de
de
de
qui satisfont
aux équations (1), quand on les y substitue à la place de
de
et de
et qui se réduisent respectivement à
à
et à
pour
Ainsi, au lieu de développer seulement, comme le faisait Cauchy,
par rapport à la variable indépendante
je développe en outre par
rapport au paramètre
et par rapport aux valeurs initiales
Mais je dois auparavant démontrer deux nouveaux lemmes.