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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

les développer suivant les puissances de ce paramètre. Écrivons donc

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x&=x_{0}+\mu x_{1}+\mu ^{2}x_{1}+\dots \\y&=y_{0}+\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{1}+\dots \\\end{aligned}}\right.$

Supposons que, dans la fonction $\varphi ,$ on substitue à la place de $x$ et de $y$ leurs développements (1) ; alors $\varphi$ deviendra une fonction de $\mu ,$ de $x_{0},$ $x_{1},$ $\dots ,x_{p},$ $\dots$ ad inf. ; et de $y_{0},$ $y_{1},$ $\dots ,$ $y_{p},$ $\dots$ ad inf. ; de plus elle pourra être développée suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte qu’on aura

$\varphi =\varphi _{0}+\mu \varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\dots$

On voit aisément que $\varphi _{0}$ ne dépend que de $x_{0}$ et $y_{0}\,;$ $\varphi _{1}$ de $x_{0},$ $y_{0}$ $x_{1},$ et $y_{1},\dots \,;$ et, en général, $\varphi _{p}$ de $x_{0},$ $x_{1},$ $\dots ,$ $x_{p}\,;$ $y_{0},$ $y_{1},$ $\dots ,$ $y_{p}.$

Supposons maintenant que l’on ait

$\varphi (x,y)\ll \psi (x,y)\qquad (\mathrm {arg.} \;x,y)$

Dans $\psi$ substituons, à la place de $x$ et de $y,$ leurs développements (1), de sorte que l’on ait

$\psi =\psi _{0}+\mu \psi _{1}+\mu ^{2}\psi _{2}+\dots$

On voit aisément qu’il vient

${\begin{array}{ll}\varphi _{0}\ll \psi _{0}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,y_{0}),\\\varphi _{1}\ll \psi _{1}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,y_{0}\,;x_{1},\,y_{1}),\\\dots \dots \dots &\,\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..,\\\varphi _{p}\ll \psi _{p}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,x_{1},\,\dots ,\,x_{p}\,;\;y_{0},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{p}).\end{array}}$

On s’en rend compte en appliquant le cinquième principe du numéro précédent, ce qui montre que

$\varphi \ll \psi \quad (\mathrm {arg.} \;\mu ,\,x_{0},\,x_{1},\,\dots \;\mathrm {ad} \;\mathrm {inf.} \,;\,y_{0},\,y_{1},\,\dots \;\mathrm {ad} \;\mathrm {inf.} ).$

Nous conviendrons d’écrire, pour abréger, $\varphi _{p}(x_{i},y_{i}),$ au lieu de $\varphi _{p}(x_{0},\,x_{1},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,y_{0},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{p}).$

Théorème de Cauchy.

23.Le théorème de Cauchy se trouve aujourd’hui dans tous les Traités classiques ; aussi me bornerais-je à l’énoncer sans démon-