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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
Dans le cas où la fonction
s’annule pour
on peut écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &\ll {\frac {\mathrm {M} \alpha (x+y)}{1-\alpha (x+y)}}\\[0.5ex]&\ll {\frac {\mathrm {M} \alpha (x+y)[1+\alpha (x+y)]}{1-\alpha (x+y)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bb72d59dba88a1233dc7c000c4fab8942b4bb4)
Supposons que
outre les arguments
et
par rapport auxquels
on la suppose développée, dépende en outre d’une autre variable
les nombres
et
seront des fonctions généralement
continues de
si ces deux nombres ne s’annulent pour aucune des
valeurs de
envisagées, on pourra leur assigner une limite inférieure ;
on pourra donc donner à
et
des valeurs constantes assez
grandes pour que les inégalités précédentes subsistent.
21.Le calcul des inégalités définies dans le numéro précédent
repose sur les principes suivants, que je me borne à énoncer sans
démonstration, à cause de leur évidence :
io Si la série
converge, il en sera de même de la série
toutes
les fois qu’on aura
![{\displaystyle \varphi \ll \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c0139614637787baae8e803b17c98003c296f3)
2o On peut additionner un nombre quelconque d’inégalités de même sens
![{\displaystyle \varphi _{1}\ll \psi _{1},\qquad \varphi _{2}\ll \psi _{2},\qquad \dots ,\qquad \varphi _{n}\ll \psi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0756361e3717d943d0106f77cda8b30f9b2c6484)
3o Si l’on a un nombre infini d’inégalités de même sens,
![{\displaystyle \varphi _{0}\ll \psi _{0},\quad \varphi _{1}\ll \psi _{1},\quad \dots ,\quad \varphi _{n}\ll \psi _{n},\quad \dots \quad \mathrm {ad.} \;\mathrm {inf.} \;(\mathrm {arg.} \;x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527f21e849630d981a5fa7be05832cca0a41404e)
on pourra écrire, en introduisant un argument nouveau,
![{\displaystyle \varphi _{0}+\lambda \varphi _{1}+\lambda ^{2}\varphi _{2}+\dots \ll \psi _{0}+\lambda \psi _{1}+\lambda ^{2}\psi _{2}+\dots \quad (\mathrm {arg.} \;x,\,y,\,\lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db05e225664302feb3112ef19aab8aca152c0b26)
4o On peut multiplier deux inégalités de même sens.
5o Si l’on a
![{\displaystyle \varphi (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\ll \psi (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\quad (\mathrm {arg.} \;x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48541147b636f8a2aacd30095edfbfb61d9f9509)
et, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{array}{l}f_{1}(x,y)\ll \theta _{1}(x,y),\quad f_{2}(x,y)\ll \theta _{2}(x,y),\\\,\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\f_{n}(x,y)\ll \theta _{n}(x,y)\,\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cbb4209b8803a4224206ecba4b0189fbc49bc9)