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CHAPITRE I.

Supposons maintenant que le système soit canonique et revenons au système (1) du n^o 8 et à l’équation

(3)

$\mathrm {F} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=\mathrm {const.} ,$

qui y est corrélative.

La connaissance d’une solution particulière de cette équation (3) nous fournira un système de relations invariantes.

Soit, en effet, $\mathrm {S}$ cette solution ; considérons le système

(4)

${\begin{aligned}y_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},&y_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},&&\dots ,&y_{p}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\,;\end{aligned}}$

je dis que ce sera un système de relations invariantes par rapport aux équations canoniques (1).

On trouve, en effet, en différentiant l’équation (3),

(5)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{1}\,dx_{i}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{2}\,dx_{i}}}+\dots +{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{p}}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{p}\,dx_{i}}}=0.$

Posons

$\varphi _{i}=y_{i}-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},$

de manière à ramener le système (4) à la forme (2),

(2)

$\varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0,$

il viendra

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{i}}}&=1,&{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}&=0\quad (i\gtrless k),&{\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{i}\,dx_{k}}},\end{aligned}}$

d’où

${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=\sum _{k}{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}{\frac {dy_{k}}{dt}}+\sum _{k}{\frac {d\varphi _{i}}{dk_{k}}}=\sum _{k}\left({\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{k}}}-{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}\right),$

ce qui montre que les équations (5) se réduisent à

${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=0\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,p).$