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CHAPITRE I.
Le problème se ramène ainsi à l’intégration des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}&(i=2,\,3,\,\dots ,\,p),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c520f6078533348535e78111f96dd23215135898)
qui sont des équations canoniques ne comportant plus que
degrés de liberté.
Ainsi, si, en général, on connaît une intégrale d’un système
d’équations différentielles, on pourra abaisser l’ordre du système
d’une unité ; mais, si ce système est canonique, on pourra en abaisser
l’ordre de deux unités.
Prenons pour exemple le problème du mouvement d’un corps
pesant suspendu à un point fixe ; nous avons vu que ce problème
comporte 3 degrés de liberté ; mais on connaît une intégrale
qui est celle des aires ; le nombre des degrés de liberté peut donc
être abaissé à 2.
Qu’arrive-t-il maintenant lorsqu’on connaît, non plus une seule,
mais
intégrales des équations (1) ?
Soient
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1},\;\mathrm {F} _{2},\;\dots ,\;\mathrm {F} _{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3240276e96395c59dc673ae336f60d8260d9c55f)
ces
intégrales, de sorte que
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{2}\right]=\dots =\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{q}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8357ab8e7fd07b9508a1f52497d8ea16bbd749c3)
Peut-on, à l’aide de ces intégrales, abaisser de
unités le nombre
des degrés de liberté ? Cela n’aura pas lieu en général ; il faut pour
cela que les
équations aux dérivées partielles
(6)
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soient compatibles ; ce qui exige les conditions
(7)
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Si les conditions (7) sont remplies, on éliminera entre les équations (6)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\quad \dots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{q}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3bbb76855648750470d905a97a3d38e41951e1)
et l’on arrivera à une équation aux dérivées partielles
où
ces
dérivées n’entreront plus et que l’on pourra considérer