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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

4^o Que de même $i^{2}$ est développable suivant les puissances de ${\frac {\mathrm {Z} }{\beta \mathrm {G} }}={\frac {\mathrm {Z} }{\Lambda -\mathrm {H} }}\cdot$

5^o Que ${\frac {i}{\sqrt {\mathrm {Z} }}}$ est développable suivant les puissances de ${\frac {\mathrm {Z} }{\Lambda -\mathrm {H} }}$ et par conséquent suivant les jouissances de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {H} .$

Or on a

${\begin{aligned}{\frac {e}{\sqrt {\mathrm {H} }}}&={\frac {e\cos h{\sqrt {2}}}{\xi }}={\frac {e\sin h{\sqrt {2}}}{\eta }}\,,&{\frac {i}{\sqrt {\mathrm {Z} }}}&={\frac {i\cos \zeta {\sqrt {2}}}{p}}={\frac {i\sin \zeta {\sqrt {2}}}{q}}\,\cdot \end{aligned}}$

Donc $e\cos h,$ $e\sin h,$ $i\cos \zeta ,$ $i\sin \zeta$ sont développables suivant les puissances de $\xi ,$ $\eta ,$ $p$ et $q\,;$ de même $e'\cos h',$ $e'\sin h',$ $i'\cos \zeta ',$ $i'\sin \zeta '$ sont développables suivant les puissances de $\xi ',$ $\eta ',$ $p'$ et $q'.$

Mais la forme du développement de la fonction perturbatrice est bien connue.

Elle est développable suivant les puissances croissantes des excentricités et des inclinaisons et suivant les cosinus des multiples de $\lambda ,$ $\lambda ',$ $h,$ $h',$ $\zeta$ et $\zeta ',$ et un terme quelconque du développement est de la forme suivante (Tisserand, Mécanique céleste, t. I, p. 307)

$\mathrm {N} e^{\mu _{3}}e'^{\mu _{4}}i^{\mu _{5}}i'^{\mu _{6}}\cos(m_{1}\lambda +m_{2}\lambda '+m_{3}h+m_{4}h'+m_{5}\zeta +m_{6}\zeta ')\,,$

les $\mu _{i}$ étant des entiers positifs ou nuls et les $m_{i}$ des entiers quelconques. On a d’ailleurs

$\mu _{i}=|m_{i}|+\;$ un nombre pair

et, d’autre part,

$m_{1}+m_{2}=m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6}$

On peut conclure de là que la fonction perturbatrice est développable suivant les puissances de

${\begin{array}{llll}e\,\,\cos h\,,&\quad e\,\,\sin h\,,&\quad i\,\,\cos \zeta \,,&\quad i\,\,\sin \zeta \,,\\e'\cos h'\,,&\quad e'\sin h'\,,&\quad i'\cos \zeta '\,,&\quad i'\sin \zeta '\,,\end{array}}$

et, par conséquent, suivant les puissances de

(5)

$\xi ,\quad \xi ',\quad \eta ,\quad \eta ',\quad p,\quad p',\quad q,\quad q'\;.$