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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Or on voit sans peine que $u'$ ne dépend que de $w$ et satisfait à l’équation

$w\,{\frac {du'}{dw}}=u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\mathrm {B} .$

Donc $u'$ est fini ; donc ${\frac {du_{i}}{dw}}$ reste finie quand $\alpha$ tend vers 0. Donc on a asymptotiquement (en entendant ce mot au même sens que plus haut)

${\frac {d\theta _{i}}{dw}}={\frac {d\theta _{i}^{0}}{dw}}+\alpha {\frac {d\theta _{i}^{1}}{dw}}+\alpha ^{2}{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dw}}+\ldots .$

On démontrerait de même que l’on a asymptotiquement

${\begin{aligned}{\frac {d\theta _{i}}{dt}}&=\,{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dt}}\;+\alpha \,{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dt}}\;+\alpha ^{2}\,{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dt}}\;+\ldots ,\\[1ex]{\frac {d^{2}\theta _{i}}{dw^{2}}}&={\frac {d^{2}\theta _{i}^{0}}{dw^{2}}}+\alpha {\frac {d^{2}\theta _{i}^{1}}{dw^{2}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}\theta _{i}^{2}}{dw^{2}}}+\ldots \\\end{aligned}}$

Voici donc la conclusion finale à laquelle nous parvenons :

Les séries

${\begin{aligned}x_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,&n_{i}t+y_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots \end{aligned}}$

définies dans ce paragraphe sont divergentes, mais elles jouissent de la même propriété que la série de Stirling, de telle sorte que l’on a asymptotiquement

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

De plus, si $\mathrm {D}$ est un signe quelconque de différentiation, c’est-à-dire si l’on pose

$\mathrm {D} f={\frac {d^{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{k}}f}{dt^{\lambda _{0}}dw_{1}^{\lambda _{1}}dw_{2}^{\lambda _{2}}\ldots dw_{k}^{\lambda _{k}}}}$

on aura encore asymptotiquement

${\begin{aligned}\mathrm {D} x_{i}&=\mathrm {D} x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} x_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} x_{i}^{2}+\ldots ,\\\mathrm {D} y_{i}&=\mathrm {D} (n_{i}t+y_{i}^{0})+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} y_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} y_{i}^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

En ce qui concerne l’étude des séries analogues à celles de Stirling,