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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Nous en conclurons alors que

$|u_{i}|<u_{i}'$

pour

$0<w<\mathrm {W} .$

Cherchons maintenant à intégrer les équations (21 bis). J’observe d’abord que, $\Phi$ ne dépendant pas de $t,$ les $u_{i}'$ n’en dépendront pas non plus et qu’on aura

${\begin{aligned}u_{1}'=u_{2}'&=u_{3}'=u_{4}'={\frac {s'}{4}},\\[1ex]w\,{\frac {ds'}{dw}}={\frac {s'}{4}}+\mathrm {M} \,w^{2}&+\mathrm {M} \,s'\,w+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s'^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s'}}\cdot \end{aligned}}$

Cette dernière équation admet une intégrale

$s'=\varphi (w,\,\alpha )$

développable suivant les puissances de $w$ et de $\alpha ,$ et divisible par $w^{2}\,;$ quand $\alpha$ tend vers 0, $s'$ tend manifestement vers l’intégrale de l’équation

$w\,{\frac {ds'}{dw}}={\frac {s'}{4}}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,s'\,w.$

Cette équation linéaire s’intègre très aisément, on trouve

$\lim s'=\mathrm {M} \,w^{\frac {1}{4}}\,e^{\mathrm {M} w}\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {M} w}\,w^{\frac {3}{4}}\,dw\qquad (\mathrm {pour} \;\alpha =0).$

De cette formule, je ne veux retenir qu’une chose, c’est que, si

$0<w<\mathrm {W} ,$

$s',$ et, par conséquent, $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ et $u_{4}$ tendent vers une limite finie quand $\alpha$ tend vers 0.

Il résulte de là que la série

$\theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots$

représente la fonction $\theta _{i}$ asymptotiquement (c’est-à-dire à la façon de la série de Stirling) ou, en d’autres termes, que l’expression

${\frac {\theta _{i}-\theta _{i}^{0}-\alpha \theta _{i}^{1}-\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}-\ldots -\alpha ^{p-1}\theta _{i}^{p-1}}{\alpha ^{p-1}}}$