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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

pour qu’elle le soit quand on a

${\begin{aligned}w&>w_{0},&\tau &=\tau _{1}.\end{aligned}}$

Mais nous avons supposé qu’elles le sont, quel que soit $t$ et, par conséquent $\tau ,$ pour $w=w_{0}\,;$ elles le seront donc encore, quel que soit $\tau$ et, par conséquent $t,$ pour $w>w_{0}.$

C.Q. F. D.

On démontrerait absolument de la même manière un lemme un peu plus général :

Soient $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{n},\,$ $\varphi _{1}',\,\varphi _{2}',\,\ldots ,$ $\varphi _{n}'$ des fonctions de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n},$ $t$ et $w,$ développables suivant les puissances des $x$ et telles que l’on ait pour toutes les valeurs considérées de $t$ et de $w$

$\varphi _{1}\ll \varphi _{1}',\quad \varphi _{2}\ll \varphi _{2}',\quad \ldots ,\quad \varphi _{n}\ll \varphi _{n}',\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).$

Envisageons les équations

(3)

${\frac {dx_{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{i}}{dw}}=\varphi _{i}(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},\,t,\,w)$

et

(3 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{i}'}{dw}}&=\varphi _{i}'(x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}',\,t,w)&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}$

Supposons que l’on ait, quel que soit $t$ pour $w=w_{0},$

$|x_{i}|<x_{i}'$

cela aura lieu quel que soit $t$ pour $w>w_{0}.$

Faisons maintenant des hypothèses plus particulières au sujet des fonctions $\varphi _{i}$ et $\varphi _{i}'.$

Supposons :

1^o Que ces fonctions sont périodiques par rapport à $t$ et de période $2\pi \,;$

2^o Que pour les petites valeurs de $w,$ elles sont développables suivant les puissances croissantes de $w\,;$ cela peut d’ailleurs ne pas avoir lieu pour toutes les valeurs considérées de $w\,:$ il suffit qu’il en soit ainsi pour les petites valeurs de cette variable ;

3^o Que ces fonctions sont développables suivant les puissances