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CHAPITRE VII.

Je dis que, pour toutes les valeurs de $w$ plus grandes que $w_{0},$ on aura encore

(2)

$|x|<x'.$

Changeons de variables en posant

$t={\frac {1}{\alpha }}\log w+\tau .$

On aura alors, en représentant par des $\partial \,$ ronds les dérivées partielles prises par rapport aux variables $\tau$ et $w$

${\frac {\partial x}{\partial w}}={\frac {dx}{dw}}+{\frac {1}{\alpha \,w}}\,{\frac {dx}{dt}}\cdot$

Nos équations deviendront donc

${\begin{aligned}\alpha \,w{\frac {\partial x}{\partial w}}&=\varphi ,&\alpha \,w{\frac {\partial x'}{\partial w}}&=\varphi ',\end{aligned}}$

si pour un certain système de valeurs des variables

${\begin{aligned}w&=w_{1},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}$

l’inégalité (2) est satisfaite ; on aura également

${\begin{aligned}|\varphi |&<\varphi ',\\[1ex]\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}\right|&<{\frac {\partial x'}{\partial w}},\\\end{aligned}}$

de sorte que l’inégalité (2) sera encore satisfaite pour

$w=w_{1}+dw,\qquad \tau =\tau _{1},$

puisque l’on aura

$|x|<x'\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw$

et, par conséquent,

$\left|x+{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<|x|+\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<x'+{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw.$

Il suffit donc qu’elle le soit encore quand on a

${\begin{aligned}w&=w_{0},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}$