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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
être divisibles par
mais elles peuvent être d’ailleurs
quelconques, puisque
ne sont déterminés qu’à un
facteur constant près. Nous pourrons donc poser
![{\displaystyle (\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')=(\mathrm {U} '',\mathrm {U} ''')=\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf722b3971b520c14cb6f060a9f53c180c6f1709)
Si l’on observe que, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\xi _{i}&=\theta _{1}\,d\mathrm {S} _{i}+\theta _{2}\,d\mathrm {S} _{i}'+\theta _{3}\,d\mathrm {S} _{i}''+\theta _{4}\,d\mathrm {S} _{i}'''+\mathrm {S} _{i}\,d\theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,d\theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,d\theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,d\theta _{4}\\d\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}\,\delta \theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,\delta \theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,\delta \theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,\delta \theta _{4},\qquad \ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665ac3db4bb533a9592a8aae170febc6742f5e20)
On conclura que
![{\displaystyle \alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=(\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega )\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270ab03755ddb856f408168340c99b0918f6218c)
désignant une expression homogène et linéaire tant par rapport
aux
que par rapport aux
les coefficients de cette fonction
bilinéaire sont d’ailleurs des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Je dis que
est une différentielle exacte et, en effet, les équations (14) nous donnent
![{\displaystyle \alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=\alpha ^{2}(\delta \mathrm {G} +\delta \mathrm {G} ')\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e98e102e1cb373f3e8a225347be1b8d52a11ce9)
où
est la différentielle exacte d’une fonction
![{\displaystyle \mathrm {G} =\theta _{1}\theta _{2}+{\frac {\theta _{4}^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4128943c51181c2cd0f5b8b594fdaf3eda30b070)
et où
![{\displaystyle \delta \mathrm {G} '=\Theta _{1}\,\delta \theta _{2}-\Theta _{2}\,\delta \theta _{1}+\Theta _{3}\,\delta \theta _{4}-\Theta _{4}\,\delta \theta _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e05ea20c76426ecbfba06b095b91963ae9a7af)
Je dis que
est une différentielle exacte ; il suffit, pour s’en convaincre, d’observer que, dans cette
expression, les termes du premier degré par rapport aux
se
réduisant à
sont une différentielle exacte et qu’il doit en être
de même de ceux dont le degré est supérieur à 1, puisque
est
une différentielle exacte et que
ne contient que des termes du premier degré.
Nous pouvons donc poser
![{\displaystyle \delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega =\alpha ^{2}\delta \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b45252b4052a470b5d7ba82db7c43ae446729)
où
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {F} ''}{\alpha ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a979ea8aab20df045366ff22d4611123b4989ce9)