Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/378

366

CHAPITRE VII.

Ces séries $u_{1}',\,u_{2}',\,u_{3}',\,u_{4}'$ seront convergentes pourvu que $|w|$ ne dépasse pas une certaine limite que j’appellerai $w_{0}.$ Comparons maintenant les équations (21) et les fonctions $u_{1},$ $u_{2},$ $u_{3},$ $u_{4}$ qui y satisfont, avec les équations (21 bis) et les fonctions $u_{1}',$ $u_{2}',$ $u_{3}',$ $u_{4}'$ qui y satisfont.

Je me propose d’établir que t

$u_{i}\ll u_{i}'\left(\mathrm {arg.} \;w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).$

(Je fais remarquer que $\alpha$ ne figure pas parmi les arguments par rapport auxquels est prise cette inégalité.)

En effet, soit $u_{i}^{n}$ et $u_{i}'^{n}$ l’ensemble des termes de $u_{i}$ et de $u_{i}'$ qui sont de degré $n,$ au plus en $w\,;$ supposons que l’on ait établi que

$u_{i}^{n}\ll u_{i}'^{n}.$

Je vais faire voir que

$u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1}.$

J’aurai alors établi par récurrence l’inégalité à démontrer.

Si l’on substitue dans $\mathrm {V} _{i}$ et dans $\Phi '$ à la place des $u_{i}$ et des $u_{i}'$ les développements de ces quantités suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}},$ ces fonctions $\mathrm {V} _{i}$ et $\Phi '$ deviendront elles-mêmes développables suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}.$

Désignons encore par $\mathrm {V} _{i}^{n}$ et $\Phi '^{n}$ l’ensemble des termes de degré $n$ au plus en $w.$

Si alors $u_{i}^{n}\ll u_{i}'^{n},$ on aura aussi

$\mathrm {V} _{i}^{n+1}\ll \Phi '^{n+1}$

Soit alors

$\mathrm {A} \,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}$

un terme de $\Phi '^{n+1}$ et

$\mathrm {A} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}$

le terme correspondant de $\mathrm {V} _{i}^{n+1},$ on aura

$|\mathrm {A} _{i}|<\mathrm {A} .$

Soient alors

$\mathrm {B} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {B} _{i}'\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}$

les termes correspondants de $u_{i}$ et de $u_{i}'.$