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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Or il est aisé de voir que l’on peut trouver un nombre
indépendant
de
tel que, si
les séries tirées de (15) convergent.
Il en résulte que les séries ordonnées suivant les puissances
de
et tirées de (14) convergent uniformément quelque petit que
soit
ainsi que je l’ai annoncé plus haut. Ce raisonnement est
en tout point semblable à celui du no 105 ; la fonction
joue le
rôle de
et
celui de
car tous les diviseurs (5) sont de la forme
et par conséquent plus grands que
en valeur absolue.
Nous possédons maintenant les
sous la forme de séries ordonnées
suivant les puissances de
et de
les coefficients sont
des fonctions connues de
Si l’on développe chacun de ces coefficients
suivant les puissances de
on obtiendra les
développés
suivant les puissances de
Les séries ainsi obtenues sont divergentes,
comme nous l’avons vu plus haut ; soient néanmoins
(16)
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ces séries.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} _{1}&=\Theta _{1}+\theta _{1},&\mathrm {H} _{2}&=\Theta _{2}-\theta _{2},&\mathrm {H} _{3}&=\Theta _{3}+\theta _{3},&\mathrm {H} _{4}&=\Theta _{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510648bf07bd6a095839713682dbe9daafc37ed9)
Posons
(17)
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en égalant
aux
premiers termes de la série (16) plus un
terme complémentaire ![{\displaystyle \alpha ^{p}u_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f18fb0c88b8be26ca84a5e755c87ad0efda246c)
Si dans
on remplace les
par leurs développements (17), les
peuvent se développer suivant les puissances de
et on peut écrire
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}=\Theta _{i}^{0}+\alpha ^{2}\Theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p-1}\Theta _{i}^{p-1}+\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09e45b9469efe2f7c35ede9a48d8f607207985a)
les
étant indépendants de
pendant que
est développable
suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)