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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Or il est aisé de voir que l’on peut trouver un nombre $w_{0}$ indépendant de $\alpha ,$ tel que, si $|w|<w_{0},$ les séries tirées de (15) convergent.

Il en résulte que les séries ordonnées suivant les puissances de $w$ et tirées de (14) convergent uniformément quelque petit que soit $\mu ,$ ainsi que je l’ai annoncé plus haut. Ce raisonnement est en tout point semblable à celui du n^o 105 ; la fonction $\alpha \Phi$ joue le rôle de ${\overline {\mathrm {H} _{i}^{2}}}+{\overline {\mathrm {H} _{i}^{3}}}+\ldots$ et $\alpha$ celui de $\varepsilon ,$ car tous les diviseurs (5) sont de la forme $n{\sqrt {-1}}+\alpha p,$ et par conséquent plus grands que $\alpha$ en valeur absolue.

Nous possédons maintenant les $\theta$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\,;$ les coefficients sont des fonctions connues de $\alpha .$ Si l’on développe chacun de ces coefficients suivant les puissances de $\alpha ,$ on obtiendra les $\theta$ développés suivant les puissances de $\alpha .$ Les séries ainsi obtenues sont divergentes, comme nous l’avons vu plus haut ; soient néanmoins

(16)

$\theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p}\theta _{i}^{p}+\ldots$

ces séries.

Posons

${\begin{aligned}\mathrm {H} _{1}&=\Theta _{1}+\theta _{1},&\mathrm {H} _{2}&=\Theta _{2}-\theta _{2},&\mathrm {H} _{3}&=\Theta _{3}+\theta _{3},&\mathrm {H} _{4}&=\Theta _{4}.\end{aligned}}$

Posons

(17)

$\theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p}\theta _{i}^{p}+\alpha ^{p}u_{i}$

en égalant $\theta _{i}$ aux $p+1$ premiers termes de la série (16) plus un terme complémentaire $\alpha ^{p}u_{i}.$

Si dans $\mathrm {H} _{i}$ on remplace les $\theta _{i}$ par leurs développements (17), les $\mathrm {H} _{i}$ peuvent se développer suivant les puissances de $\alpha$ et on peut écrire

$\mathrm {H} _{i}=\Theta _{i}^{0}+\alpha ^{2}\Theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p-1}\Theta _{i}^{p-1}+\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i},$

les $\theta _{i}^{k}$ étant indépendants de $\alpha$ pendant que $\mathrm {U} _{i}$ est développable suivant les puissances de $\alpha .$