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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

les coefficients $(i,$ $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\ldots ,$ $\beta _{p},$ $\gamma )$ ou $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ seront des constantes qui dépendront, suivant une certaine loi, des coefficients indéterminés $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ].$ Je dis que les $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ et, par conséquent, les $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ sont développables suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}$ et que le développement ne contient pas de puissance négative.

En effet, les équations (14 bis) nous donnent

$[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]=(i,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}$

pour $i=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2$ et

${\begin{aligned}[2n,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=(2n,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\\{}[2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=\{(2n,\,\beta _{k},\,\gamma )+(2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma )\}{\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Ces formules permettent de calculer par récurrence les coefficients $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ].$ Si, en effet, nous convenons de dire que le coefficient $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ de même que $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ est de degré

$\beta _{1}+\beta _{2}+\ldots +\beta _{p},$

il est aisé de voir que la quantité $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ ne dépend que des coefficients $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ de degré moindre, qui peuvent être supposés connus par un calcul préalable.

De même on peut démontrer par récurrence la proposition énoncée. En effet, je dis qu’elle est vraie de $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ si elle est vraie des coefficients de degré moindre ; car, s’il en est ainsi, elle sera vraie de $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ qui dépend seulement de ces coefficients de degré moindre. Il reste donc à démontrer que la fraction

${\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}$

est développable suivant les puissances positives de ${\sqrt {\mu }}.$ Or, cela est évident ; car, si $\gamma$ n’est pas nul, le dénominateur n’est pas divisible par ${\sqrt {\mu }}.$ Si $\gamma$ est nul le dénominateur est divisible par ${\sqrt {\mu }},$ mais non par $\mu \,;$ mais il en est de même du numérateur.

La proposition du n^o 108 est donc ainsi démontrée de nouveau.