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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
les équations pourront s’écrire comme dans le numéro précédent
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\zeta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}'\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'\\\end{aligned}}\right\}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7e1cc99f9b22a0ded2b712e83e58fc2e83a0a9)
Les fonctions
et
jouissent
des mêmes propriétés que dans le numéro précédent, c’est-à-dire qu’elles sont développables
suivant les puissances des
des
et de
et périodiques par rapport à
De plus,
et
sont linéaires par rapport aux
et aux
et
et
ne contiennent que des termes du second degré au moins par rapport à ces variables.
Considérons ensuite les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {X} _{i},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {Z} _{i}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394de67e1c978a145dd398f2f26c7ecaf6b17f15)
elles admettront
solutions linéairement indépendantes correspondant
aux
exposants caractéristiques qui ne sont pas
nuls ; ces solutions pourront s’écrire
![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}\zeta _{i}=\xi _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad \eta _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54fd95c007d233b04ce6ca50c3f11f748f0528d)
elles admettront en outre deux solutions dégénérescentes définies
au no 80 et que j’écrirai
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f127e4ce7f8e95ba81432cc9628ba3ac6e0918d0)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {T} _{i,2n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3314d4082fccb5f0425867eb0bb7095d8685835)
Les fonctions
et
sont
périodiques en
De plus
est divisible par ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Nous pouvons alors poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {S} _{ik}\theta _{k},&\eta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {T} _{ik}\theta _{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2be5bafa3e6b6e6f3a708cc08810db84036667)