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CHAPITRE VII.
mais, si l’on observe que
![{\displaystyle n_{1}b_{i1}+n_{2}b_{i2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a458238eb150b87e2554d5ce98425556fb6b4d80)
on en déduirait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}={\frac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c3ce5f8317874c060ce2f3da81d46a3ff04cf8)
ce qui ne peut avoir lieu.
Le déterminant
n’est donc pas nul. On peut encore l’établir
de la manière suivante. Considérons les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=b_{i1}\eta _{1}+b_{i2}\eta _{2},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\xi _{1}+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\xi _{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601e7c66e3cb9b3762c736f4cee94d19df8d906)
Ce sont des équations linéaires à coefficients constants. Elles
admettent quatre solutions linéairement indépendantes, à savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{t}{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{t}\mathrm {T} _{i}\,;\\\xi _{i}&=e^{-t}{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{-t}\mathrm {T} _{i}'\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}''\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}+t{\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641b49a35f0b1b872dd2df457502a50bf932ba11)
Il va sans dire que, dans les
et les
il faut faire
de telle sorte que ces quantités se réduisent à des constantes.
Ces quatre solutions étant linéairement indépendantes, leur
déterminant pour
ne doit pas s’annuler ; or ce déterminant
est précisément
Donc
n’est pas nul.
C.Q.F.D.
On voit ainsi que les fonctions
jouissent bien des propriétés énoncées.
111.L’analyse précédente s’étend immédiatement au cas où il
y a plus de 2 degrés de liberté.
Si nous posons
![{\displaystyle \xi _{i}={\sqrt {\mu }}\zeta _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e02eb00d8a188c7d325c09f4b8169d7fc4610a)