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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

On peut donc dire que les séries que nous avons obtenues dans le n^o 108 représentent les solutions asymptotiques pour les petites valeurs de $\mu$ de la même manière que la série de Stirling représente les fonctions eulériennes.

Démonstration nouvelle de la proposition du n^o 108.

110.Pour démontrer ce fait, je vais faire subir aux équations une transformation qui me fournira en même temps une nouvelle démonstration du théorème qui a fait l’objet du n^o 108. Supposons 2 degrés de liberté seulement pour fixer les idées ; alors nous ne conserverons plus qu’une seule des quantités $w$ et nous pourrons écrire nos équations sous la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dx_{i}}{dw}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dy_{i}}{dw}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\quad (i=1,2)\end{aligned}}$

en supprimant les indices de $\alpha$ et de $w$ devenus inutiles.

Nous savons que $\alpha$ est développable suivant les puissances impaires de ${\sqrt {\mu }}$ et, par conséquent, $\alpha ^{2}$ suivant les puissances de $\mu \,;$ inversement $\mu$ est développable suivant les puissances de $\alpha ^{2}\,;$ nous pouvons remplacer $\mu$ par ce développement, de sorte que $\mathrm {F}$ sera développée suivant les puissances de $\alpha ^{2}.$ Pour $\alpha =0,$ $\mathrm {F}$ se réduit à $\mathrm {F} _{0}$ qui ne dépend que de $x_{1}$ et de $x_{2}.$

Soit

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t)\end{aligned}}$

la solution périodique qui nous sert de point de départ. Posons, comme au n^o 79,

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}$

nos équations deviendront

(11)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}}&=\Xi _{i},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\eta _{i}}{dw}}&=\mathrm {H} _{i}.\end{aligned}}$

$\Xi _{i}$ et $\mathrm {H} _{i}$ sont développés suivantes les puissances des $\xi _{i},$ des $\eta _{i}$ et de $\alpha ^{2}\,;$ et les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$

Pour $\alpha =0,$ ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ et par conséquent $\Xi _{i}$ s’annulent ; donc $\Xi _{i}$ est