353
SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
On peut donc dire que les séries que nous avons obtenues dans
le no 108 représentent les solutions asymptotiques pour les petites
valeurs de
de la même manière que la série de Stirling représente
les fonctions eulériennes.
Démonstration nouvelle de la proposition du no 108.
110.Pour démontrer ce fait, je vais faire subir aux équations
une transformation qui me fournira en même temps une nouvelle
démonstration du théorème qui a fait l’objet du no 108. Supposons
2 degrés de liberté seulement pour fixer les idées ; alors nous ne
conserverons plus qu’une seule des quantités
et nous pourrons
écrire nos équations sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dx_{i}}{dw}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dy_{i}}{dw}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\quad (i=1,2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5213beefd18e2c61ec4db6868c972f885de554d2)
en supprimant les indices de
et de
devenus inutiles.
Nous savons que
est développable suivant les puissances impaires
de
et, par conséquent,
suivant les puissances de
inversement
est développable suivant les puissances de
nous
pouvons remplacer
par ce développement, de sorte que
sera
développée suivant les puissances de
Pour
se
réduit à
qui ne dépend que de
et de
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b6ac1dd217872b2cdf2cf1bdf0699a55fb269a)
la solution périodique qui nous sert de point de départ. Posons, comme au no 79,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd309daff57bb87198aa40aaf7fd62e41858684)
nos équations deviendront
(11)
|
|
|
et
sont développés suivantes les puissances des
des
et de
et les coefficients sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Pour
et par conséquent
s’annulent ;
donc
est