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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
nous pouvons donc prendre
et
assez petits pour que
la valeur absolue de l’un quelconque d’entre eux reste plus grande que
quand
reste plus petit que
Alors l’inverse d’un diviseur (5) quelconque est développable
suivant les puissances de
et les coefficients du développement
sont plus petits en valeur absolue que ceux de
![{\displaystyle {\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38506e8b2c828f442c599912482bb086cf34086c)
Nous avons écrit plus haut
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}^{p}=\Sigma \,\mathrm {C} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc4c2d29f4679ab5444deef1848db662a8faecf)
D’après nos hypothèses,
peut être développé suivant les puissances
de
de telle sorte que je puis poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i},&\mathrm {H} _{i}^{p}&=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}\end{aligned}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b023e51b95b0fbbc65a2987474aaed3f9685a2)
Reprenons maintenant les équations (2′′), en y faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=h\left(1-{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right),\\{\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}&=\Sigma \,|\mathrm {E} |\,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc32b6ba1a5f72440311888d624e45a289746aa)
Les seconds membres des équations (2′′) seront alors des séries
convergentes ordonnées selon les puissances de
de
![{\displaystyle \eta _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d001768af1689ec9c03e24a549972728f4d0a7)
On en tirera les
sous la forme des séries (4′′), convergentes
et ordonnées suivant les puissances de
Des équations (2′), nous tirerions d’autre part les
sous la
forme des séries (4′) ordonnées suivant les puissances de
Chacun des termes de (4′) est
plus petit en valeur absolue que le terme correspondant de (4′′),
et comme les séries (4′′) convergent, il en sera de même des
séries (4′).