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CHAPITRE VI.

Nous avons d’abord ceux qui nous sont donnés par les équations

${\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}},\end{aligned}}$

$z=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}\,;$

je les appelle $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ et $z_{4}.$

On voit toute de suite que $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ et $z_{4}$ ne dépendent que des deux excentricités, c’est-à-dire de $\tau$ et de $\tau '\,;$ que

$z_{1}z_{3}=z_{2}z_{4}=1.$

Le rapport ${\frac {z_{1}}{z_{3}}}$ ne dépendrait que de nos quatre variables $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\beta _{4}\,;$ or ce rapport est égal à $z_{1}^{2}.$ Donc $z_{1}$ et de même $z_{2},$ $z_{3},$ $z_{4}$ ne dépendraient que des quatre variables $\beta _{i}.$

Il en serait donc ainsi de $\tau$ et de $\tau '$ qui sont manifestement fonctions de $z_{1}$ et de $z_{2}.$

Passons aux points singuliers de la seconde sorte, qui nous sont fournis par les équations

$\Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

Quand, dans ces équations, on prend comme variables $x$ et $y,$ elles deviennent algébriques. L’équation $\Delta =0$ définit alors, comme nous l’avons vu, une courbe du sixième degré qui, pour une inclinaison nulle, se décompose en deux courbes (3) et (4) du troisième degré ; de l’équation ${\frac {d\Delta }{dt}}=0$ combinée avec $\Delta =0,$ on peut, si l’inclinaison est nulle, en déduire deux autres qui sont les équations (5) et (6) du n^o 96.

Soit $z_{0}$ une des racines des équations

(1)

$\Delta ={\frac {d\Delta }{dt}}=0,$

les rapports ${\frac {z_{0}}{z_{1}}},\,{\frac {z_{0}}{z_{2}}}$ et, par conséquent, $z_{0}$ ne dépendraient que des quatre variables $\beta _{i}.$

Si donc $z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}''$ sont trois racines des équations (1), $z_{0},$ $z_{0}',$ $z_{0}'',$