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CHAPITRE VI.

effet comme point double à la courbe (3) ; ce cas mériterait une

discussion spéciale].

On a donc, en prenant pour variables indépendantes $z$ et $\xi ,$

$\Phi (z)=\int \varphi (z,\,\xi )\,d\xi ,$

$\varphi (z,\,\xi )$ étant développable suivant les puissances de $\xi ,$ de $z-z_{0}$ et de ${\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}},$ ce qui nous permet d’écrire

$\Phi (z)=\int \varphi _{1}\,d\xi +\int {\frac {\varphi _{2}\,d\xi }{\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}}},$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant développables suivant les puissances de $\xi$ et de $z-z_{0}.$

La première intégrale est une fonction holomorphe de $z$ dans le voisinage du point $z=z_{0}\,;$ quant à la seconde, elle est tout à fait de la même forme que l’intégrale

$\int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},$

que nous avons été conduits à envisager dans les deux premières hypothèses. Nous devons donc conclure que les points

${\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}$

sont pour la fonction $\Phi (z)$ des points singuliers véritables et non pas seulement apparents.

On peut être étonné, au premier abord, de la différence entre les points singuliers tels que E, V, W, etc., qui ne sont qu’apparents, et les points tels que $x=\tau ,$ $y=\tau ',$ ou tels que D, etc., qui sont de véritables points singuliers.

L’origine en semble pourtant tout à fait la même ; on obtient ces points en écrivant que deux des points singuliers $t_{1}$ et $t_{2}$ de la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ viennent à se confondre. Mais examinons la chose d’un peu plus près. Donnons à $z$ une valeur très voisine de $z_{0},$ de façon que les deux points $t_{1}$ et $t_{2}$ soient très peu différents l’un de l’autre, et étudions l’allure de la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ dans le voisinage de ces deux points. La différence entre les deux cas est alors très grande.