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CHAPITRE VI.

point passent deux des branches de la courbe (3) et les deux droites $x=\tau ,$ $y=\tau '.$ À ce point correspondent quatre valeurs finales ; car, quand $z^{\frac {1}{c}}$ décrit la droite $\Delta ,$ quatre points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t),$ d’abord confondus en un seul, se séparent de façon que les quatre points représentatifs décrivent respectivement les deux branches de (3) et les deux droites $x=\tau ,$ $y=\tau '\,;$ parmi ces valeurs finales, trois sont plus petites que 1 en valeur absolue ou plus exactement appartiennent à la région $\mathrm {R} _{0}$ de la surface de Riemann $\mathrm {S} _{0}.$ La quatrième valeur finale, celle qui correspond à la branche de courbe $\gamma _{2}$ appartient à l’autre région. Le point est donc admissible.

8^o Le point U′ réciproque de U, c’est-à-dire le point double de (4), sera admissible pour la même raison.

9^o Il reste encore les points d’intersection de la droite, $y=\tau '$ avec la courbe (4) que j’appelle V et W′ et ceux de la droite $y={\frac {1}{\tau }}$ avec la courbe (3) que j’appelle V′ et W, auxquels j’adjoindrai les deux points réciproques l’un de l’autre

$\left(x={\tau },\quad y={\frac {1}{\tau '}}\right)\quad \mathrm {et} \quad \left(x={\frac {1}{\tau }},\quad y={\tau '}\right),$

que j’appellerai X et X′. Le point X est inadmissible et les deux valeurs finales correspondant respectivement aux deux droites $x=\tau$ et $y={\frac {1}{\tau }}$ appartiennent à la région $\mathrm {R} _{0}.$

Passons au point V [c’est celle des intersections de $y=\tau '$ avec (4) qui est très près de l’origine] : quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrit $\Delta ,$ les deux points représentatifs correspondant aux deux points singuliers qui se séparent suivent : le premier la courbe (4) jusqu’au point R et le second la droite $y=\tau '$ jusqu’en U. Les points R et U sont donc subordonnés à V et V admet, comme valeurs finales, l’ensemble des valeurs finales de R et de U. Toutes celles de R appartiennent à $\mathrm {R} _{0}\,;$ celles de U qui est admissible appartiennent aux deux régions. Donc le point V est admissible ; mais il cesse de l’être dès que la différence $\varpi -\varpi ',$ au lieu d’être nulle, devient très petite. Dans ce cas, en effet, R et U cessent d’être subordonnés à V, et les seules valeurs finales que conserve V sont, d’une part,