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CHAPITRE VI.

Nos équations et les valeurs correspondantes de $x$ se simplifient un peu quand, supposant $\varphi$ très petit, on néglige le carré de cette quantité.

Les équations (1), (9) et (10) nous donnent alors respectivement pour $x$ trois valeurs très petites, qui sont approximativement

(11)

${\begin{aligned}x&={\frac {\varphi }{2}},&x&={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {1}{1-\beta }},&x&={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {1}{1+\beta }},\end{aligned}}$

et trois valeurs très grandes, qui sont approximativement

(11 bis)

${\begin{aligned}x&={\frac {2}{\varphi }},&x&={\frac {2(1-\beta )}{\varphi }},&x&={\frac {2(1+\beta )}{\varphi }}\cdot \end{aligned}}$

L’équation (7) nous donne deux valeurs très petites, définies approximativement par l’équation

(12)

$4x^{2}(a+c)+2x\varphi (c-2a)+a\varphi ^{2}=0,$

et une valeur très grande ; qui est approximativement

(13 bis)

$x={\frac {2}{\varphi }}\,{\frac {a+c}{a}}\cdot$

L’équation (8) nous donne deux valeurs très grandes, définies par

(12 bis)

$4(a+c)+2x\varphi (c-2a)+ax^{2}\varphi ^{2}=0,$

et une très petite, qui s’écrit

(13)

$x={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {a}{a+c}}\cdot$

Il est aisé de vérifier que les équations (12) et (12 bis) ont leurs racines réelles quand ${\frac {c}{a}}<0.$ Si donc $c$ et $a$ sont de signe contraire et que $\varphi$ soit assez petit, les équations (7) et (8) auront leurs racines réelles.

Les valeurs de $x$ correspondant aux divers points singuliers étant ainsi définies, il reste à déterminer les valeurs de $y$ et de $z.$

J’observe d’abord que, si l’on a un point singulier correspondant à certaines valeurs de $x,$ de $y$ et de $z,$ les valeurs inverses ${\frac {1}{x}},$ ${\frac {1}{y}},$ ${\frac {1}{z}}$ correspondront à un autre point singulier, que j’appellerai le réci-