façon que ce point ne puisse jamais atteindre ce contour. Ainsi restera toujours extérieur à et intérieur à Mais supposons maintenant que et se rapprochent indéfiniment l’un de l’autre ; le contour pris pour ainsi dire entre deux feux, ne pourra plus fuir devant ces deux points mobiles et la fonction ne sera plus holomorphe.
Par conséquent, pour obtenir tous les points singuliers de il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de considérés comme fonction de se confondent en un seul.
La série
sera convergente dans une région limitée par deux circonférences
ces deux circonférences iront passer par un ou plusieurs des points singuliers que je viens de définir.
Mais, si l’on veut savoir quels sont ceux de ces points singuliers qui sont sur ces circonférences et qui définissent par conséquent les limites de convergence de notre série, une discussion plus approfondie est nécessaire.
Tous les points singuliers ne conviennent pas, en effet, à la question, et cela pour plusieurs raisons.
En premier lieu, la fonction n’est pas uniforme ; si deux points singuliers et de cette fonction considérée comme fonction de viennent à se confondre pour une certaine valeur de il faut, pour que cette valeur soit un véritable point singulier de que et appartiennent à une même détermination de et de plus que cette détermination soit encore la même que celle qui figure dans l’intégrale
laquelle prise le long de définit la fonction
Il faut, en outre, qu’avant de se confondre en un seul, ces deux points et ne soient pas d’un même côté du contour
Soit un chemin tracé dans le plan des et allant d’un point de module 1 à des points singuliers définis plus haut. Suppo-
