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CHAPITRE VI.

deux séries convergentes pour

$|x|<\mathrm {R} .$

Soient

${\begin{aligned}\psi _{2}(x)&={\textstyle \sum }b_{-n}x^{-n},&\psi _{3}(x)&={\textstyle \sum }c_{-n}x^{-n}\end{aligned}}$

deux séries convergentes pour

$|x|>{r}.$

Si les différences $\varphi -\psi ,$ $\varphi -\psi _{1},$ $\varphi -\psi _{2},$ $\varphi -\psi _{3}$ sont finies ainsi que leurs $p$ premières dérivées, la première dans le voisinage du point $x=\alpha ,$ la seconde dans le domaine du point $x=\beta ,$ la troisième dans celui du point $x=\gamma ,$ la quatrième quand $x$ est voisin de $\delta ,$ on aura

$\left.{\begin{aligned}\lim n^{p+1}\mathrm {R} ^{n}(a_{n}-b_{n}-c_{n})&=0\\\lim n^{p+1}{r}^{n}(a_{-n}-b_{-n}-c_{-n})&=0\\\end{aligned}}\right\}\;(\mathrm {pour} \;n=\infty ).$

Les valeurs approximatives des coefficients $a_{n}$ dépendent donc uniquement des singularités que présente la fonction $\varphi (x)$ sur les circonférences qui limitent la convergence.

Extension aux fonctions de plusieurs variables.

94.Appliquons ces principes au cas qui nous occupe.

Il s’agit de développer une certaine fonction $\mathrm {F} _{1}^{0}$ des deux anomalies moyennes $l$ et $l'$ sous la forme suivante

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,;$

On a donc

$4\pi ^{2}\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}^{0}e^{-{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,dl\,dl'.$

Il s’agit de trouver une valeur approchée du coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ quand, le rapport ${\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}$ étant donné et fini, les deux nombres $m_{1}$ et $m_{2}$ sont très grands ou plus généralement quand on a

$m_{1}=an+b,\quad m_{2}=cn+d,$