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CHAPITRE VI.
J’ai cru néanmoins devoir rattacher ce théorème à une théorie
plus générale qui permettra peut-être de découvrir d’autres propositions
analogues.
Principes de la méthode de M. Darboux.
93.Après cette digression, je reviens à mon sujet principal. Il
convient d’abord de rappeler les résultats de M. Darboux, qui
doivent nous servir de point de départ.
1o Soit une série
![{\displaystyle \varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7562d6affe6e0aefe85b2ee2d2c27a6d2216c7b1)
admettant pour rayon de convergence ![{\displaystyle r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a)
On aura, quand
croîtra indéfiniment
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\lim a_{n}\rho ^{n}=0&\;\mathrm {si} \;\rho <r,\\\lim a_{n}\rho ^{n}=\infty &\;\mathrm {si} \;\rho >r.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef218d7885ae0644cf4511634d515bc9980d763b)
2o Imaginons maintenant que la fonction
![{\displaystyle \varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7562d6affe6e0aefe85b2ee2d2c27a6d2216c7b1)
demeure finie sur la circonférence de rayon
ainsi que ses
premières
dérivées ; le produit
ne croîtra pas au delà de
toute limite quand
augmente.
3o Si l’on a
![{\displaystyle \varphi (x)=(1-\alpha x)^{k}={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055ce931a7b07a0d80af4c0de304f3f13f82e74e)
on aura approximativement
(1)
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je veux dire que le rapport des deux membres de l’égalité (1) tendra
vers 1, quand
croîtra indéfiniment.
4o Supposons maintenant que la fonction
ait sur la circonférence
de rayon
deux points singuliers
et
que
dans le voisinage du point
nous ayons
![{\displaystyle \varphi (x)=\mathrm {A} _{1}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{1}}+\mathrm {A} _{2}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{2}}+\ldots +\mathrm {A} _{h}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{h}}+\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b37d82b06c135c386d8d5701525db5f4e1afe1e)