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CHAPITRE VI.
Si donc on pouvait établir que ces relations n’existent pas, on
aurait démontré qu’il ne peut exister non plus d’intégrale uniforme.
Comme le développement de
est incomparablement plus
facile que celui de
il semble que ce procédé doit simplifier
beaucoup notre tâche.
Mais il est tellement artificiel, qu’a priori on conçoit des doutes
sur son efficacité et qu’on se demande s’il n’est pas illusoire. Il
l’est en effet, car les expressions (14) formées à l’aide de
sont nulles ou indéterminées.
Supposons que l’on développe
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71819ede47de4990bb3c5d1944c03a8020b4d823)
Les coefficients
seront fonctions de
et des autres éléments osculateurs (
et
exceptés).
Donnons à
et à
des valeurs telles que
![{\displaystyle m_{1}\,n+m_{2}\,n'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f5c489a535ad9637a2765c8e2a2eda1f662719)
(en appelant
et
les moyens mouvements).
Je dis que, pour ces valeurs de
et de
le coefficient
s’annulera.
Pour cela je vais me servir du lemme suivant.
Soit
(2)
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un système de variables conjuguées deux à deux ; soit
(3)
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un autre système de variables conjuguées. Supposons que ces deux
systèmes soient liés par des relations telles que l’on puisse passer
de l’un à l’autre sans altérer la forme canonique des équations. On
devra avoir alors, d’après le no 5,
(4)
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Supposons que les
et les
dépendent d’un certain paramètre
et soient développables par rapport aux puissances de
que, pour
et
se réduisent à
et à