Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/284

272

CHAPITRE VI.

d’où

${\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}=(\mathrm {AB} \,\cos v){\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}+\cos i(\mathrm {AB} \,\sin v){\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot$

La méthode de M. Flamme est directement applicable aux quatre facteurs

$\mathrm {AB} \,\cos v,\quad {\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}},\quad \mathrm {AB} \,\sin v,\quad {\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot$

Il reste donc à développer le troisième terme

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}},$

qui est connu sous le nom de partie principale de la fonction perturbatrice. C’est du développement de cette partie principale que nous allons maintenant nous occuper.

Digression sur une propriété de la fonction perturbatrice.

92.On pourrait être tenté d’éviter la nécessité de développer la partie principale de la fonction perturbatrice en employant l’artifice suivant :

Nous avons trouvé

$\mathrm {F} _{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r\cos \omega }{r'^{2}}},$

en désignant par $r$ et $r'$ les deux rayons vecteurs et par $\omega$ l’angle de ces deux rayons vecteurs.

Pour arriver à ce résultat, nous avons pris, comme dans le n^o 11, pour orbites osculatrices l’orbite de B par rapport à A et celle de C par rapport à D, centre de gravité de A et de B.

Mais il est clair qu’on aurait pu également choisir comme orbites osculatrices celle de C par rapport à A et celle de B par rapport à E, centre de gravité de A et de C.

Cela revient à permuter les deux planètes B et C ; on aurait donc trouvé ainsi, comme nouvelle fonction perturbatrice,

$\mathrm {F} '_{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r'\cos \omega }{r^{2}}},$