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CHAPITRE V.

Le premier élément de la ligne d’indice $\lambda$ sera

$\lambda \mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q},$

les autres seront les dérivées de $\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}$ par rapport aux diverses variables

$e,\quad e',\quad \varpi ,\quad \varpi ',\quad i,\quad i',\quad \theta ,\quad \theta ',$

c’est-à-dire par rapport aux excentricités, aux longitudes des périhélies, aux inclinaisons et aux longitudes des nœuds.

Eh bien, la condition nécessaire et suffisante pour que l’on ait une relation entre $2n-4=8$ ($n=6$ dans l’espace) des expressions (14), c’est que tous les déterminants formés en prenant dans ce tableau neuf lignes quelconques soient nuls.

Inutile d’ajouter que, dans les cas plus simples, par exemple lorsque les trois Corps se meuvent dans un plan, le nombre des colonnes et des lignes de ces déterminants est plus petit que 9.

Nous avons vu que tous les termes du développement de $\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}$ sont de degré $|m_{1}+m_{2}|$ au moins. Donc, parmi les éléments de la ligne d’indice $\lambda$ (que je suppose développés suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons), le premier $\lambda \mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}$ commence par des termes de degré

$|\lambda p+\lambda q|.$

II en est de même des dérivées de $\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}$ par rapport aux $\varpi$ et aux $\theta ,$ tandis que les dérivées de $\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}$ par rapport aux $e$ et aux $i$ commenceront par des termes de degré

$|\lambda p+\lambda q|-1.$

Pour la ligne d’indice 0, le premier terme se réduit à 0 ; les développements de dérivées de $\mathrm {C} _{0\,0}$ par rapport aux $\varpi$ et aux $\theta$ commenceront par des termes du second degré, et ceux des dérivées de $\mathrm {C} _{0\,0}$ ar rapport aux $e$ et aux $i$ commenceront par des termes du premier degré.

Nos déterminants sont à leur tour susceptibles d’être développés suivant les puissances des $e$ et des $i.$ Si un déterminant $\Delta$ est formé par les lignes d’indices

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \lambda _{3},\quad \ldots ,\quad \lambda _{p},\quad$