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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

au moins par rapport à ces quantités et, si leur degré diffère de $|m_{1}+m_{2}|,$ la différence est un nombre pair.

Nous pourrons donc écrire

$\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}=\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}^{0}+\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}^{1}+\ldots +\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}^{p}+\ldots ,$

$\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}^{p}$ représentant l’ensemble des termes du développement qui sont de degré

$|m_{1}+m_{2}|+2p$

par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Nous dirons que $\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}^{0}$ est le terme principal de $\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}$ et que les autres termes en sont les termes secondaires.

Il y aura exception pour le coefficient $\mathrm {C} _{0\,0}\,;$ dans ce cas,

$\mathrm {C} _{0\,0}=\mathrm {C} _{0\,0}^{0}+\mathrm {C} _{0\,0}^{1}+\ldots .$

$\mathrm {C} _{0\,0}^{0}$ ne dépend que des grands axes ; si ces grands axes sont regardés momentanément comme des constantes, ainsi que nous l’avons fait dans les numéros précédents [c’est, en effet, en supposant les grands axes constants que l’existence d’une intégrale uniforme entraîne celle d’une relation entre $2n-4$ expressions (14)] ; si donc les grands axes sont des constantes, $\mathrm {C} _{0\,0}^{0}$ sera aussi une constante qui ne jouera aucun rôle dans le calcul.

C’est donc $\mathrm {C} _{0\,0}^{1}$ qui est du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons que nous conviendrons d’appeler le terme principal de $\mathrm {C} _{0\,0}.$

Si alors nous remplaçons le développement (2) par le suivant

(3)

$\mathrm {C} _{0\,0}+\mathrm {C} _{0\,0}^{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}^{0}e^{{\sqrt {-1}}[m_{1}(l+g+\theta )+m_{2}(l'+g'+\theta ')]},$

nous dirons que nous avons écrit le développement de la fonction perturbatrice $\mathrm {F} _{1}$ réduite à ses termes principaux.

Cela posé, quelle est la condition pour qu’il y ait une relation entre $2n-4$ quelconques des expressions

(14)

$\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {C} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }\quad (\lambda ,\lambda '=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ).$

Formons un tableau composé d’une infinité de lignes formées comme il suit :

Les différentes lignes correspondront aux diverses valeurs entières de l’indice $\lambda ,$ positives, négatives ou nulles.