Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/272

260

CHAPITRE V.

Donc $\Phi '$ et $\Phi ''$ doivent être toutes deux des intégrales.

Si donc on a démontré qu’il ne peut pas exister d’intégrale uniforme développable suivant les puissances entières de $\mu ,$ on aura démontré qu’il ne peut pas exister non plus d’intégrale uniforme développable suivant les puissances entières de ${\sqrt {\mu }}.$

Plus généralement, soient

(1)

$\theta _{1}(\mu ),\quad \theta _{2}(\mu ),\quad \ldots ,\quad \theta _{p}(\mu )$

$p$ fonctions quelconques de $\mu .$

Supposons que $\Phi$ soit de la forme

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\Phi &=\mathrm {A} _{0,1}\theta _{1}(\mu )+\mathrm {A} _{1,1}\mu \theta _{1}(\mu )+\mathrm {A} _{2,1}\mu ^{2}\theta _{1}(\mu )+\ldots \\&+\mathrm {A} _{0,2}\theta _{2}(\mu )+\mathrm {A} _{1,2}\mu \theta _{2}(\mu )+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\&+\mathrm {A} _{0,p}\theta _{p}(\mu )+\mathrm {A} _{1,p}\mu \theta _{p}(\mu )+\ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

les $\mathrm {A}$ étant des fonctions des $x$ et des $y$ indépendantes de $\mu .$

Nous pouvons toujours supposer qu’il n’y a pas entre les $p$ fonctions (1) de relations de la forme

(3)

$\varphi _{1}\theta _{1}+\varphi _{2}\theta _{2}+\ldots +\varphi _{p}\theta _{p}=0,$

$\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{p}$ étant développables suivant les puissances de $\mu .$ S’il en était ainsi en effet, l’une des fonctions $\varphi _{1},$ $\varphi _{2},$ $\ldots ,$ $\varphi _{p}$ ne contiendra pas $\mu$ en facteur ; car, si toutes ces fonctions contenaient $\mu$ en facteur, le premier membre de (3) serait divisible par $\mu$ et l’on effectuerait la division.

Supposons, par exemple, que $\varphi _{1}$ ne s’annule pas avec $\mu \,;$ on pourra résoudre l’équation (3) par rapport à $\theta _{1}$ et on aura

$\theta _{1}=-{\frac {\varphi _{2}}{\varphi _{1}}}\theta _{2}-{\frac {\varphi _{3}}{\varphi _{1}}}\theta _{3}-\ldots -{\frac {\varphi _{p}}{\varphi _{1}}}\theta _{p}.$

${\frac {\varphi _{2}}{\varphi _{1}}},\,{\frac {\varphi _{3}}{\varphi _{1}}},\ldots$ seront développables suivant les puissances de $\mu ,$ et si l’on remplace $\theta _{1}$ par cette valeur dans l’expression (2), on aura réduit d’une unité le nombre des fonctions (1).

Supposons donc que ces fonctions ne soient pas liées par une relation de la forme (3).

Nous pourrons écrire

$\Phi =\Phi _{1}\theta _{1}+\Phi _{2}\theta _{2}+\ldots +\Phi _{p}\theta _{p},$