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CHAPITRE V.

servir de première approximation, à la façon du mouvement képlérien dans l’étude du problème des trois Corps par les approximations successives.

Je dois, avant d’aller plus loin, définir deux quantités $n$ et $n',$ que j’appellerai les deux moyens mouvements et qui joueront un rôle important dans ce qui va suivre. Dans le mouvement à la Poinsot, l’ellipsoïde d’inertie roule sur un plan fixe : soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du point de suspension sur ce plan fixe et Q le point de contact. Ce point de contact appartient à une courbe fixe par rapport à l’ellipsoïde et appelée polhodie. Au bout d’un certain temps $\mathrm {T} ,$ le même point de la polhodie reviendra en Q′ en contact avec le plan fixe. Soit $\alpha$ l’angle QPQ′. Nous poserons

${\begin{aligned}n&={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }},&n'&={\frac {\alpha }{\mathrm {T} }}\end{aligned}}$

et $n$ et $n'$ seront les deux moyens mouvements.

Cela posé, les équations du mouvement à la Poinsot pourront s’écrire de la manière suivante.

Soient $x,\,y$ et $z$ les coordonnées d’un point quelconque du corps solide en prenant l’origine des coordonnées au point de suspension et l’axe des $z$ vertical.

Posons

${\begin{aligned}l&=nt+\varepsilon ,&l'&=n't+\varepsilon ',\end{aligned}}$

$\varepsilon$ et $\varepsilon '$ étant deux constantes d’intégration.

Soient $\xi ,\,\eta$ et $\psi$ trois fonctions de $n,$ $n'$ et $l,$ périodiques de période $2r$ en $l$ (ces fonctions, comme on le sait, dépendent des fonctions elliptiques) ; soient $\theta$ et $\varphi$ deux nouvelles constantes d’intégration ; on aura

${\begin{aligned}x&=\cos \theta \,(\xi \cos l'-\eta \sin l')-\sin \theta \cos \varphi (\xi \sin l'+\eta \cos l')+\psi \sin \theta \sin \varphi ,\\y&=\sin \theta \,(\xi \cos l'-\eta \sin l')+\cos \theta \cos \varphi (\xi \sin l'+\eta \cos l')-\psi \cos \theta \sin \varphi ,\\z&=\sin \varphi (\xi \sin l'+\eta \cos l')+\psi \cos \varphi .\end{aligned}}$

Si l’on suppose que le point $(x,\,y,\,z)$ est le centre de gravité du corps solide, $\mathrm {F} _{1}$ se réduit à un facteur constant près à $z,$ de sorte que nous pourrons écrire

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m,1}e^{{\sqrt {-1}}(ml+l')}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m,0}e^{{\sqrt {-1}}(ml)}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m,-1}e^{{\sqrt {-1}}(ml-l')},$

les coefficients $\mathrm {B}$ dépendant seulement de $n,$ de $n'$ et de $\varphi .$