14
CHAPITRE I.
constantes d’intégration
![{\displaystyle h_{2},\;h_{3},\;\dots ,\;h_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df474005d72cba20fc05314c835068999086334)
de telle façon que l’on ait, quels que soient les
,
![{\displaystyle \mathrm {F} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{1}}},{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{2}}},\dots ,{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{p}}}\right)=h_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eccfca4a2d0964eabecffa5f144429deda2fb9d)
Jacobi a démontré que l’intégrale générale des équations (1) peut s’écrire
(3)
|
|
|
Les
constantes d’intégration sont alors
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}h_{1},&h_{2},&\dots ,&h_{p},\\h'_{1},&h'_{2},&\dots ,&h'_{p}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a5b0e2fe7a0b9a40c7fe8282db4e7b02f4164a)
Un autre théorème dont nous aurons à faire usage est celui de Poisson.
Soient
et
deux fonctions quelconques des
et des
Convenons d’écrire
![{\displaystyle \left[\mathrm {U} ,\mathrm {V} \right]=\sum \limits _{i=1}^{i=p}\left({\frac {d\mathrm {U} }{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{i}}}-{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d279f4d3df5e315525ec0724db2403fd96cf1b08)
Soient maintenant
et
deux intégrales des équations (1).
On voit immédiatement qu’on exprimera que
est une intégrale
des équations (1) en écrivant
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b673b982edc0f93df0cf4e62e2379cd9ea94afd1)
étant aussi une intégrale, on aura également
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a17419a94c2bb1f0d4cac651a6e7421ad98df2)
Poisson a démontré que l’expression
est également une
intégrale des équations (1). C’est ainsi que, dans le problème des
corps,
si l’on suppose que
et
soient les premiers membres