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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

Les résultats seront analogues, bien que l’énoncé en soit plus compliqué.

Soient

$p_{1},\quad p_{2},\quad \ldots ,\quad p_{n}$

$n$ nombres entiers quelconques. Considérons tous les systèmes d’indices $m_{1},\,m_{2},\,\ldots ,\,m_{n}$ qui satisfont à la condition

$m_{1}p_{1}+m_{2}p_{2}+\ldots +m_{n}p_{n}=0.$

Je dirai que tous les coefficients correspondants appartiennent à une même famille.

Soient $q$ classes définies par les systèmes d’indices suivants

${\begin{array}{cccc}m_{1,1}&m_{2,1}&\ldots ,&m_{n,1}\\m_{1,2}&m_{2,2}&\ldots ,&m_{n,2}\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots .\\m_{1,q}&m_{2,q}&\ldots ,&m_{n,q}\\\end{array}}$

Si l’on ne peut trouver $q$ entiers,

$a_{1},\quad a_{2},\quad \ldots ,\quad a_{q},$

tels que l’on ait

$\sum _{i=1}^{i=q}a_{i}m_{k,i}=0\quad \quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

je dirai que ces $q$ classes sont indépendantes.

Je dirai qu’une famille est ordinaire si l’on y peut trouver $n-1$ classes indépendantes et ordinaires, et qu’elle est singulière dans le cas contraire. Elle sera singulière du premier ordre si l’on peut y trouver $n-2$ classes indépendantes, ordinaires et singulières du $q$^ième ordre, si l’on peut y trouver $n-q-1$ classes indépendantes et ordinaires et qu’on n’en puisse trouver davantage.

Je dirai qu’une famille définie par les entiers $(p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n})$ appartient à un domaine D s’il existe dans ce domaine des valeurs des $x$ telles que

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{1}\,dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{2}\,dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{n}\,dx_{n}}}\cdot$

Cela posé, je dis que, si l’on peut trouver dans tout domaine δ