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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

Supposons en effet que le coefficient $\mathrm {B}$ qui correspond au système $(m_{1},\,m_{2},\,\ldots ,\,m_{n})$ s’annule, mais que le coefficient $\mathrm {B} '$ qui correspond au système $(m'_{1},\,m'_{2},\,\ldots ,\,m'_{n})$ ne s’annule pas.

Si l’on donne aux $x$ des valeurs telles que

${\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0,$

on aura également

${\textstyle \sum }\,m'_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0,$

et par conséquent

${\begin{aligned}\mathrm {B} \,{\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}&=0,&\mathrm {B} '\,{\textstyle \sum }\,m'_{i}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}&=0.\end{aligned}}$

De la première de ces égalités on ne peut pas déduire

${\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}=0$

parce que $\mathrm {B}$ est nul ; mais, comme $\mathrm {B} '$ n’est pas nul, la seconde égalité nous donne

${\textstyle \sum }\,m'_{i}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}=0$

et, par conséquent,

${\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}=0.$

Le reste du raisonnement se fait comme dans le numéro précédent.

Avant d’aller plus loin, considérons d’abord le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté.

Il n’y aura alors que deux indices $m_{1}$ et $m_{2}$ et une classe sera entièrement définie par le rapport de ces deux indices. Soit $\lambda$ un nombre commensurable quelconque ; soit $\mathrm {C}$ la classe d’indices où ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}=\lambda .$ Je dirai, pour abréger, que cette classe $\mathrm {C}$ appartient au domaine D, ou est dans ce domaine si l’on peut donner aux $x_{i}$ un système de valeurs appartenant à ce domaine, et telles que

$\lambda \,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0.$