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CHAPITRE V.
Je dis qu’une fonction
de cette forme ne peut pas être une
intégrale des équations (1).
La condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction
soit une intégrale s’écrit, en reprenant la notation du no 3,
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} ,\Phi \right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f62a6438c1c55702f1b456691b66da4af4f473f)
ou en remplaçant
et
par leurs développements
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=[\mathrm {F} _{0},\Phi _{0}]+\mu \left([\mathrm {F} _{1},\Phi _{0}]+[\mathrm {F} _{0},\Phi _{1}]\right)\\&+\mu ^{2}\left([\mathrm {F} _{2},\Phi _{0}]+[\mathrm {F} _{1},\Phi _{1}]+[\mathrm {F} _{0},\Phi _{2}]\right)+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd927dcb5b2cd38345270646e4660f24822b65df)
Nous aurons donc séparément les équations suivantes, dont je ferai
usage plus loin,
(2)
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et
(3)
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Je dis que je puis toujours supposer que
n’est pas une fonction
de ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
En effet, supposons que l’on ait
![{\displaystyle \Phi _{0}=\psi (\mathrm {F} _{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc4be189b1b26859de6d31724dab8385e020cb5)
Je dis que la fonction
sera une fonction uniforme en général,
quand les variables
resteront dans le domaine D.
Nous avons en effet
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=\mathrm {F} _{0}(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d68ddcb4f0a924af9eb4d38b37ee1528b8db98e)
Nous pourrons résoudre cette équation par rapport à
et écrire
![{\displaystyle x_{1}=\theta (\mathrm {F} _{0},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb68964ca60d1603b64d8c06a24e64b365994f12)
et
sera une fonction uniforme à moins que
ne s’annule à
l’intérieur du domaine D.
En remplaçant
par sa valeur
dans
![{\displaystyle \Phi _{0}\left({\begin{array}{c}x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\\y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\\\end{array}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d63b9544ddfc3979b003e33c59c090292ed94e)