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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

$\mathrm {S} ''_{i},$ $\mathrm {T} ''_{i},$ $\mathrm {S} _{i}^{\star },$ $\mathrm {T} _{i}^{\star }$ étant périodiques de même période que $\varphi _{i},$ $\psi _{i},$ $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}.$

Comment doit-on s’y prendre pour former ces solutions (3) ?

Nous avons vu au n^o 42 que les équations (1) admettent une solution périodique

(4)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t,\,\mu ,\,\varepsilon ),&y_{i}&=\psi _{i}(t,\,\mu ,\,\varepsilon ),\end{aligned}}$

de période

${\frac {\mathrm {T} }{1+\varepsilon }}$

qui se réduit à

$x_{i}=\varphi _{i}(t),\qquad y_{i}=\psi _{i}(t)$

pour $t=0.$

Les fonctions $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ sont développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon .$

Posons maintenant

$t={\frac {u}{1+\varepsilon }},\quad$ d’où $\quad u=t(1+\varepsilon ).$

Si nous substituons cette valeur à la place de $t$ dans les équations (4), il viendra

${\begin{aligned}x_{i}&=\theta _{i}(u,\,\mu ,\,\varepsilon ),&y_{i}&=\Theta _{i}(u,\,\mu ,\,\varepsilon ).\end{aligned}}$

Les fonctions $\theta _{i}$ et $\Theta _{i}$ seront encore développables suivant les puissances de $\mu$ et de $\varepsilon \,;$ mais elles seront périodiques en $u$ et la période sera constante et égale à $\mathrm {T} \,;$ elles seront donc développables suivant les sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi u}{\mathrm {T} }}\cdot$

Si $h$ est une constante quelconque

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t+h,\,\mu ,\,\varepsilon ),&y_{i}&=\psi _{i}(t+h,\,\mu ,\,\varepsilon )\end{aligned}}$

est encore une solution des équations (1), puisque le temps n’entre pas explicitement dans ces équations. Cette solution contient deux constantes arbitraires $h$ et $\varepsilon .$

Le n^o 54 nous fournit le moyen d’en déduire deux solutions des équations aux variations (2).