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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

on obtient des équations de la forme suivante, analogues aux équations (7) et (8),

(13)

$\left\{{\begin{aligned}-{\frac {d\mathrm {T} _{i}^{m+1}}{dt}}&+{\textstyle \sum }_{k}\mathrm {C} _{ik}^{0}\mathrm {S} _{k}^{m+1}-\alpha _{1}\mathrm {T} _{i}^{m}-\alpha _{m+1}\mathrm {T} _{i}^{0}=\mathrm {quantit{\acute {e}}} \;\mathrm {connue} \\-{\frac {d\mathrm {S} _{i}^{m+2}}{dt}}&+{\textstyle \sum }_{k}\mathrm {B} _{ik}^{2}\mathrm {T} _{k}^{m}-\alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{m+1}-\alpha _{m+1}\mathrm {S} _{i}^{1}=\mathrm {quantit{\acute {e}}} \;\mathrm {connue} \end{aligned}}\right\}(i=1,2,3).$

Les deux membres de ces équations (12) sont des fonctions périodiques de $t.$ Égalons la valeur moyenne de ces deux membres. Si nous désignons par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne d’une fonction périodique quelconque $\mathrm {U} ,$ si nous observons que, si $\mathrm {U}$ est périodique, on a

$\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}\right]=0\,;$

si nous rappelons que, $\mathrm {T} _{k}^{m}$ étant connu à une constante près, $\mathrm {T} _{k}^{m}-[\mathrm {T} _{k}^{m}]$ et

$\left[\mathrm {B} _{ik}^{2}\left(\mathrm {T} _{k}^{m}-[\mathrm {T} _{k}^{m}]\right)\right]$

sont des quantités connues, nous obtiendrons les équations suivantes :

(14)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\mathrm {C} _{ik}^{0}\left[\mathrm {S} _{k}^{m+1}\right]-\alpha _{1}\left[\mathrm {T} _{i}^{m}\right]-\alpha _{m+1}\mathrm {T} _{i}^{0}&=\mathrm {quantit{\acute {e}}} \;\mathrm {connue} \\{\textstyle \sum }_{k}b_{ik}\left[\mathrm {T} _{k}^{m}\right]-\alpha _{1}\left[\mathrm {S} _{i}^{m+1}\right]-\alpha _{m+1}\mathrm {S} _{i}^{1}&=\mathrm {quantit{\acute {e}}} \;\mathrm {connue} \end{aligned}}\right\}(i=1,2,3).$

Ces équations (14) vont nous servir à calculer $\alpha _{m+1},$ $\left[\mathrm {T} _{i}^{m}\right]$ et $\left[\mathrm {S} _{i}^{m+1}\right]$ et par conséquent à achever la détermination des fonctions $\mathrm {T} _{i}^{m}$ et $\mathrm {S} _{i}^{m+1}$ qui ne sont encore connues qu’à une constante près.

Si l’on additionne les équations (i4) après les avoir respectivement multipliées par

$\mathrm {S} _{1}^{1},\quad \mathrm {S} _{2}^{1},\quad \mathrm {S} _{3}^{1},\quad \mathrm {T} _{1}^{0},\quad \mathrm {T} _{2}^{0},\quad \mathrm {T} _{3}^{0},$

on trouve

$2\sum \mathrm {S} _{i}^{1}\mathrm {T} _{i}^{0}\alpha _{m+1}={\text{quantité connue}}$

ce qui détermine $\alpha _{m+1}.$

Si dans les équations (14) on remplace $\alpha _{m+1}$ par la valeur ainsi trouvée, on a, pour déterminer les six inconnues $\left[\mathrm {T} _{i}^{m}\right]$ et $\left[\mathrm {S} _{i}^{m+1}\right],$ six équations linéaires dont cinq seulement sont indépendantes.

Cela posé, on déterminera $\left[\mathrm {T} _{1}^{m}\right]$ par la condition que $\left[\mathrm {T} _{1}^{m}\right]$ soit