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CHAPITRE IV.

La détermination de $\alpha _{1}$ est la seule partie du calcul qui présente quelque difficulté.

Les équations analogues à (7) et à (8), formées en égalant dans les équations (2) les coefficients des puissances semblables de ${\sqrt {\mu }},$ permettent ensuite de déterminer sans peine les $\alpha _{k},$ les $\mathrm {S} _{i}^{m}$ et les $\mathrm {T} _{\,i}^{m}.$ Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :

Les exposants caractéristiques $\alpha$ sont développables suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}.$

Concentrant donc toute notre attention sur la détermination de $\alpha _{1},$ nous allons étudier spécialement l’équation (11). Nous devons chercher d’abord à déterminer les quantités $\mathrm {C} _{ik}^{0}$ et $b_{ik}.$

On a évidemment

$\mathrm {C} _{ik}^{0}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}$

et

$\mathrm {B} _{ik}^{0}={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}},$

ou

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{ik}^{0}&=-{\textstyle \sum }\mathrm {A} m_{i}m_{k}\sin \omega ,&&\left(\omega =m_{1}y_{1}^{0}+m_{2}y_{2}^{0}+m_{3}y_{3}^{0}+h\right)\end{aligned}}$

et

$b_{ik}=-\mathbb {S} \,\mathrm {A} m_{i}m_{k}\sin \omega .$

La sommation représentée par le signe ${\textstyle \sum }$ s’étend à tous les termes, quelles que soient les valeurs entières attribuées à $m_{1},$ $m_{2}$ et $m_{3}.$ La sommation représentée par le signe $\mathbb {S}$ s’étend seulement aux termes tels que

$n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2}+n_{3}m_{3}=0.$

Sous le signe $\mathbb {S}$ nous avons par conséquent

$\omega =m_{2}\varpi _{2}+m_{3}\varpi _{3}+h.$

Cela nous permet d’écrire

$b_{ik}={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{k}}}\quad (\mathrm {pour} \;i\;\mathrm {et} \;k=2\;\mathrm {ou} \;3).$