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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
On aura en particulier
![{\displaystyle \mathrm {T} _{1}=\mathrm {T} _{1}^{0}+\mathrm {T} _{1}^{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} _{1}^{2}\mu +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3dea367deefdafdac63d0b0fe796ce75487127)
Comme, d’après notre hypothèse,
qui est la valeur initiale
de
doit être égale à 1, quel que soir
on aura pour ![{\displaystyle t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c)
![{\displaystyle \mathrm {T} _{1}^{0}=1,\qquad 0=\mathrm {T} _{1}^{1}=\mathrm {T} _{1}^{2}=\ldots =\mathrm {T} _{1}^{m}=\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c472330acea94cf2ca32fcae8d217e79593030)
Ayant ainsi démontré l’existence de nos séries, nous allons chercher
à en déterminer les coefficients.
Nous avons
![{\displaystyle \mathrm {S} _{i}^{0}=0,\quad \mathrm {T} _{i}^{0}=\eta _{i}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc3e405ca37aa5c0da6dd5aa197d314cfcd4902)
et
(4)
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Nous développerons d’autre part les dérivées secondes de
qui entrent comme coefficients dans les équations (2) en écrivant
(5)
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Ces développements ne contiennent que des puissances entières
de
et ne possèdent pas, comme les développements (4), des
termes dépendants de