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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Examinons d’abord l’équation
Pour former le déterminant
on peut appliquer la règle suivante ;
Écrire le hessien de
par rapport à
![{\displaystyle \varpi _{2},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n},\quad \beta _{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0386b322e259eb80dfb464087476f2ae42a40455)
changer les signes de la dernière ligne, celle qui contient les
dérivées de
ajouter ensuite
aux deux éléments qui sont
égaux à
et à ![{\displaystyle -{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{n}\,d\beta _{n}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6cbdd4f6db366bf4c25bdd50760631bd317c38)
On obtient la même équation plus simplement (le premier
membre étant seulement changé de signe) en prenant le hessien
de
et ajoutant
à l’un des deux éléments qui sont égaux à
et
à l’autre.
Écrivons l’équation
en supposant
pour fixer les idées :
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{4}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{4}\,d\beta _{4}}}+\eta \\{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\beta _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\beta _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{4}\,d\beta _{4}}}-\eta &{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\beta _{4}^{2}}}\\\end{array}}\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add6e55607e2f243ac1bc5249823cdc477fe1c55)
Sous cette forme on voit immédiatement ce que d’ailleurs on
pouvait prévoir : que cette équation en
ses deux racines égales
et de signe contraire.
Ces deux racines seront finies si le hessien de
par rapport à
![{\displaystyle \varpi _{2},\quad \varpi _{3},\quad \varpi _{4},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2e7a3475f9c8703d3c6cbf5e34d458a814fc3e)
n’est pas nul.
Elles seront différentes de 0, si le hessien de
par rapport à
![{\displaystyle \varpi _{2},\quad \varpi _{3},\quad \varpi _{4},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n-1},\quad \varpi _{n},\quad \beta _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41d674559d674ab4b3f9b54947d1f77bf545e0c)
n’est pas nul.
Quant à l’équation
elle aura ses deux racines nulles.
En effet, nous savons qu’il y a toujours deux exposants caractéristiques
nuls et, par conséquent, que deux des valeurs de
sont