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CHAPITRE IV.
Cette identité a lieu pourvu que
![{\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{n-1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f633cf838614d47568d6f7bd3a5f8dec4d7587e)
Nous pouvons donc la différentier par rapport à
ou à
ce qui donne
(3)
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En ce qui concerne les quantités
![{\displaystyle {\frac {d\Delta y_{n}}{\mu d\beta _{k}}},\quad {\frac {d\Delta y_{k}}{\mu d\beta _{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22611fd493924361537edb51531b2066658b651a)
il nous suffira d’observer qu’elles sont divisibles par ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Nous avons encore à examiner les éléments de la première ligne
de notre déterminant et ceux de la
ième colonne.
Les éléments de la première ligne sont égaux à
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+{\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{1}}}-e^{\eta \mu \mathrm {T} },\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{2}}},\quad &{\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{n-1}}},\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{n}}},\\&{\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{n}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d531a8336420224ca04daf15f66c8bf9bee946d)
Ils sont tous divisibles par
mais je dis que les
derniers
éléments, c’est-à-dire
![{\displaystyle {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{n}}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a467b9a349d26a25afa3558c2be2a98bf7d62f)
sont divisibles par
En effet, nous avons trouvé pour ![{\displaystyle \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\beta _{n}}}&=\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\beta _{n}}},&{\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\varpi _{k}}}&=\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\varpi _{k}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1effd5d2b3451635c2ae6f2af0d8f8e98dc4e0)
Or, en vertu de la définition de
on a
![{\displaystyle n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{2}}}+\ldots +n_{n}^{0}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{n}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e50f5f144becff8888e3be28d5cf6dbd56608a)
ou, à cause des relations (1) du no 75,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897d290fb84c1d885c7b70d94e283a935068bec7)
d’où (en différentiant cette identité)
![{\displaystyle {\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\beta _{n}}}={\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\varpi _{k}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9569be2b9c6d6bd4045f71cbc650208a7a0b4fd)
pour
C.Q.F.D.