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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Si
est une autre intégrale et que l’on appelle
la
solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bd4c6e6bad9aa6ef03c2562a518abba716028a)
il viendra
![{\displaystyle (\mathrm {S} _{1},\mathrm {S} _{2})=[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25557530f35af42a4d324f68b689df054c3eecbe)
Supposons donc que nos équations (1) admettent
intégrales
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \ldots ,\mathrm {F} _{p}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379c486f9f28bb9be3d0239d12a37718fb9c34a2)
et soient
![{\displaystyle \mathrm {S} ,\quad \mathrm {S} _{1},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f95662e99fd8a2abb83a3ada73a9663712be867)
les
solutions des équations (2) qui correspondent à ces
intégrales.
De deux choses l’une :
Ou bien ces
solutions seront indépendantes ;
Ou bien tous les déterminants fonctionnels de
par rapport à
variables
choisies parmi les
et les
seront
nuls à la fois en tous les points de la solution périodique.
Supposons qu’il n’en soit pas ainsi et que les solutions
soient indépendantes.
Nous aurons dans tous les cas
![{\displaystyle [\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{i}]=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff335ec5086996c9b583e50a6aeccdda9634249)
d’où
![{\displaystyle (\mathrm {S} ,\mathrm {S} _{i})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a6238254e076b382bf15f0d0f21f28cbdb5d2c)
Je suppose que l’on ait en outre
![{\displaystyle [\mathrm {F} _{i},\mathrm {F} _{k}]=0\quad (i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0436ff7fc94b55042d2d7806ec784fec73f3885)
On aura également
![{\displaystyle (\mathrm {S} _{i},\mathrm {S} _{k})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa93cd9e8acb1b816b5fd970ed9b7831f812927)
Je choisirai pour les
solutions fondamentales les
solutions
et
autres solutions de
première ou de deuxième espèce.
Parmi les solutions fondamentales, il y en aura certainement
qui (si je les appelle
) ne satisferont pas à la fois aux
relations
![{\displaystyle (\mathrm {S} ,\mathrm {S} ')=(\mathrm {S} _{1},\mathrm {S} ')=\ldots =(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} ')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf9841cf3fcb12a187191941bec86c8db417c68)