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CHAPITRE IV.
Cette expression est de la forme suivante : une exponentielle
multipliée par un polynôme entier en dont les coefficients
sont des fonctions périodiques de
Mais cette expression doit se réduire à une constante. Il est
clair que cela ne peut avoir lieu que de deux manières :
Ou bien si cette constante est nulle ;
Ou bien si
On peut en conclure que, s’il y a exposants caractéristiques
égaux à il y en aura égaux à ce qui confirme le
résultat obtenu au no 69. Si, en effet, il y a exposants égaux à
il y aura solutions de première ou de deuxième espèce
linéairement indépendantes et admettant pour exposant
Soient ces solutions.
Il ne pourra pas y avoir plus de solutions indépendantes
qui satisferont aux relations
Par conséquent, parmi les solutions fondamentales (qui sont
toutes de première ou de deuxième espèce), il y en aura pour
lesquelles l’une des constantes au moins ne sera pas nulle,
et, par conséquent, pour lesquelles l’exposant sera égal à
71.Supposons maintenant que les équations (1) admettent une intégrale
D’après ce que nous avons vu au no 54, les équations (2) admettront
comme solution particulière
Appelons cette solution, les fonctions et
(où on devra remplacer et par leurs valeurs
correspondant à la solution périodique génératrice) seront des fonctions périodiques de
Donc la solution est de première espèce et son exposant caractéristique est nul.