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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

périodiques de $t.$ Nous avons donc à intégrer des équations linéaires à coefficients périodiques.

On a vu au n^o 29 quelle est en général la forme des intégrales de ces équations ; on obtient $n$ intégrales particulières de la forme suivante

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{1}&=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S} _{11},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S} _{21},&\xi _{n}&=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S} _{n1},\\\xi _{1}&=e^{\alpha _{2}t}\mathrm {S} _{12},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{2}t}\mathrm {S} _{22},&\xi _{n}&=e^{\alpha _{2}t}\mathrm {S} _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \,,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \,,\\\xi _{1}&=e^{\alpha _{n}t}\mathrm {S} _{1n},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{n}t}\mathrm {S} _{2n},&\xi _{n}&=e^{\alpha _{n}t}\mathrm {S} _{nn},\end{aligned}}\right.$

les $\alpha$ étant des constantes et les $\mathrm {S} _{ik}$ des fonctions périodiques de $t$ de même période que les $\varphi _{i}(t).$

Les constantes $\alpha$ s’appellent les exposants caractéristiques de la solution périodique.

Si $\alpha$ est purement imaginaire de façon que son carré soit négatif, le module de $e^{\alpha t}$ est constant et égal à 1. Si au contraire $\alpha$ est réel, ou si $\alpha$ est complexe de telle façon que son carré ne soit pas réel, le module $e^{\alpha t}$ tend vers l’infini pour $t=+\infty$ ou pour $t=-\infty .$ Si donc tous les $\alpha$ ont leurs carrés réels et négatifs, les quantités $\xi _{1},$ $\xi _{2},$ $\ldots ,$ $\xi _{n}$ resteront finies ; je dirai alors que la solution périodique $x_{i}=\varphi _{i}(t)$ est stable ; dans le cas contraire, je dirai que cette solution est instable.

Un cas particulier intéressant est celui où deux ou plusieurs des exposants caractéristiques $\alpha$ sont égaux entre eux. Dans ce cas les intégrales des équations (2) ne peuvent plus se mettre sous la forme (3). Si, par exemple,

$\alpha _{1}=\alpha _{2}$

les équations (2) admettraient deux intégrales particulières qui s’écriraient

$\xi _{i}=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,1}}$

et

$\xi _{i}=te^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,1}} +e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,2}} ,$

les $\mathrm {S} _{i,1}$ et les $\mathrm {S} _{i,2}$ étant des fonctions périodiques de $t$ (voir n^o 29).

Si trois des exposants caractéristiques étaient égaux entre eux, on verrait apparaître, non seulement $t,$ mais encore $t^{2}$ en dehors des signes trigonométriques et exponentiels.