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CHAPITRE IV.

ils ne peuvent s’annuler que si deux des trois quantités $a'_{1},$ $b'_{2},$ et $c'_{3}$ sont nulles.

Mais ces trois quantités sont les trois racines de l’équation en $\mathrm {S.}$ Donc, si les mineurs de $\Delta$ sont tous nuls, l’équation en $\mathrm {S}$ a deux racines nulles.

La réciproque n’est pas vraie.

En effet, l’équation en $\mathrm {S}$

$\left|{\begin{array}{ccc}1-\mathrm {S} &0&0\\0&-\mathrm {S} &0\\0&1&-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

a deux racines nulles et tous ses mineurs ne sont pas nuls.

Nous avons supposé, pour fixer les idées, que nous avions affaire à une substitution linéaire portant sur trois variables seulement : mais le même raisonnement s’applique, quel que soit le nombre des variables.

Si le déterminant d’une substitution linéaire est nul, ainsi que tous ses mineurs du premier, du second, etc., du $(p-1)$^ième ordre ; l’'équation en $\mathrm {S}$ aura $p$ racines nulles.

58.Soient, comme dans le Chapitre précédent,

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

un système d’équations différentielles. Soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution périodique de ces équations de période $\mathrm {T} .$

Soit, dans une solution voisine de cette solution périodique, $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0,$ et $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} +\tau .$

Envisageons le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&\cdots &\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}\end{array}}\right|,$