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EXPOSANTS CARACTERISTIQUES.
La substitution linéaire (3) s’appellera alors la transformée de la
substitution (1).
La théorie des substitutions linéaires nous apprend :
1o Que la nouvelle équation en
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}a'_{1}-\mathrm {S} &a'_{2}&a'_{3}\\b'_{1}&b'_{2}-\mathrm {S} &b'_{3}\\c'_{1}&c'_{2}&c'_{3}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977f3b3ee347629088d4ae5f8d853af6fc6fc88f)
ne diffère pas de l’ancienne équation en
(2)' ;
2o Que si le déterminant
est nul ainsi que tous ses mineurs
jusqu’aux mineurs de l’ordre
inclusivement, il en sera de même
du déterminant
![{\displaystyle \Delta '=\left|{\begin{array}{ccc}a'_{1}&a'_{2}&a'_{3}\\b'_{1}&b'_{2}&b'_{3}\\c'_{1}&c'_{2}&c'_{3}\end{array}}\right|.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a4bdb5cfca7f7854d587130352e5a97a176544)
Les mineurs d’ordre
de
sont, en effet, des combinaisons
linéaires des mineurs d’ordre
de
3o Que l’on peut choisir les
de façon à ramener la substitution
(2) à une forme aussi simple que possible, dite forme canonique.
Voici en quoi consiste cette forme :
Si l’équation en
a toutes ses racines simples, on peut annuler
à la fois
Si l’équation en
a une racine double, on peut annuler à la
fois
on a alors
Si l’équation en
a une racine triple, on peut s’annuler à la
fois
et
on a alors
Dans tous les cas, on peut toujours supposer que les
ont été
choisis, de telle sorte que
![{\displaystyle a'_{2}=a'_{3}=b'_{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec072541073d61b258a4eb0ec84408f14874cc89)
Si l’équation en
a une racine nulle,
est nul et réciproquement.
Supposons maintenant que
ait tous ses mineurs du premier
ordre nuls ; alors il en sera de même de
Mais comme
![{\displaystyle a'_{2}=a'_{3}=b'_{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c2373bb4dede6970d8c52da04911a35f77a45d)
il y a trois des mineurs de
qui se réduisent à
![{\displaystyle a'_{1}b'_{2},\quad b'_{2}c'_{3},\quad a'_{1}c'_{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee07b9d191dec4829cdd54bd566edf4b4b259fd)