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CHAPITRE III.

Si cette équation n’a pas de racine multiple, j’appellerai $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\dots ,$ $\mathrm {S} _{n}$ ses n racines.

On vérifie alors que le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ quand on y fait

$\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0,$

devient égal à

$\Delta =\left(e^{\mathrm {S_{1}T} }-1\right)\left(e^{\mathrm {S_{2}T} }-1\right)\dots \left(e^{\mathrm {S_{n}T} }-1\right).$

Pour que la solution considérée soit périodique de période $\mathrm {T,}$ il faut et il suffit que l’on ait

(2)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$

Ce système comporte une solution qui est évidente et qui est la suivante :

(3)

$\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0.$

Cela ne nous apprend rien de nouveau, puisque nous savons déjà que $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0$ peut être regardée comme une solution périodique des équations (1). En dehors de cette solution périodique évidente, ces équations en admettent-elles d’autres qui en soient distinctes tout en en différant très peu ? En d’autres termes, les équations (2) peuvent-elles être satisfaites quand on y substitue à la place des $\beta$ des fonctions de $\mu ,$ qui sans être identiquement nulles, s’annulent pour $\mu =0\,?$

Si le déterminant $\Delta$ n’est pas nul, la solution (3) est pour $\mu =0$ une solution simple du système (2) ; donc, en dehors de la solution (3), le système (2) ne pourra être satisfait par des fonctions $\beta$ s’annulant avec $\mu .$

Si, au contraire, le déterminant $\Delta$ s’annule, on pourra trouver d’une ou de plusieurs manières des séries convergentes ordonnées suivant les puissances fractionnaires de $\mu ,$ s’annulant avec cette variable et qui, substituées à la place des $\beta _{i},$ satisfont aux équations (2). Les séries ainsi définies ont-elles leurs coefficients réels ? C’est ce qu’une discussion spéciale, sur laquelle je reviendrai quand je traiterai des solutions périodiques du second genre, pourrait seule nous apprendre ; si ces séries ont leurs coefficients réels, elles définissent une catégorie nouvelle de solutions pério-