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SOLUTIONS PERIODIQUES.

Soit

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\mathrm {X} _{1},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&=\mathrm {X} _{2},&&\dots ,&{\frac {dx_{n}}{dt}}&=\mathrm {X} _{n}\end{aligned}}$

un système d’équations différentielles. Je suppose que les $\mathrm {X} _{i}$ sont développables suivant les puissances croissantes de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}$ et d’un paramètre $\mu .$

Je suppose de plus que pour

$x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0$

on ait à la fois (et quel que soit $\mu$)

$\mathrm {X} _{1}=\mathrm {X} _{2}=\dots =\mathrm {X} _{n}=0.$

Alors le système (1) admettra comme solution particulière

${\begin{aligned}x_{1}&=0,&x_{2}&=0,&&\dots ,&x_{n}&=0,\end{aligned}}$

et comme les valeurs de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}$ sont constantes, cette solution pourra être regardée comme une solution périodique de période quelconque.

Je me propose d’étudier les solutions périodiques qui en diffèrent fort peu.

Soient $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots ,\,\beta _{n}$ les valeurs initiales de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n},$ soient $\psi _{1}+\beta _{1},$ $\psi _{2}+\beta _{2},$ $\dots ,$ $\psi _{n}+\beta _{n},$ les valeurs de ces mêmes variables pour $t=\mathrm {T} .$

On peut développer $\psi _{1},$ $\psi _{2},$ $\dots ,$ $\psi _{n},$ suivant les puissances de $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\mu .$

Considérons l’équation suivante en $\mathrm {S}$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{dx_{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{dx_{2}}}&\dots &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{dx_{n}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{dx_{2}}}-\mathrm {S} &\dots &{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{dx_{n}}}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\mathrm {X} _{n}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{n}}{dx_{2}}}&\dots &{\dfrac {d\mathrm {X} _{n}}{dx_{n}}}-\mathrm {S} \\\end{array}}\right|=0,$

où l’on suppose qu’on ait fait

$\mu =x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0.$